Para uma outra abordagem de solução para o Exercício Teórico 7.33, suponha que T r , represente o número de jogadas necessárias para se obter uma série de r caras consecutivas.

A – Determine E [ T r | T r - 1 ] .

B – Determine E [ T r ] em termos de E [ T r - 1 ]

C – O que é E [ T r ] ?

D – O que é E [ T r ] ?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - É nos dado que precisávamos de T r - 1 jogadas para obter a corrida de r - 1 caras. Vamos ver o que acontece no próximo jogada. Se virarmos um cara, completaremos um corrida de r caras consecutivas. Nesse caso, precisávamos de T r - 1 + 1 jogadas. Se virarmos uma coroa, vamos arruinar nosso lançamento até agora e somos forçados a começar a lançar novamente. Então a equação é

E T r T r - 1 = p 1 + T r - 1 + 1 - p 1 + T r - 1 + E T r

Com isso, nós temos que

E T r T r - 1 = 1 + T r - 1 + 1 - p E T r

Passo 2

B - Se aplicarmos a esperança à relação anterior, acabamos com

E T r = 1 + E T r - 1 + 1 - p E ( T r )

O que implica em

E T r = 1 p 1 + E T r - 1

C - Observe que a variável aleatória T 1 marca a primeira vez que obtemos uma Cara. Então, T 1 tem distribuição geométrica com parâmetro de sucesso p . Portanto

E T 1 = 1 p

Passo 3

D – Vamos determinar E ( T r ) em termos de E T r - 1 usando relação de E T r = 1 p 1 + E T r - 1 . Nós temos que

E T r =   1 p 1 + E T r - 1 = 1 p 1 + 1 p 1 + E T r - 2

Com isso, nós temos que

E T r = 1 p + 1 p 2 + 1 p 2 E T r - 2

De modo indutivo, nós terminamos em

E T r = 1 p + 1 p 2 + … + 1 p r - 1 + 1 p r - 1 E ( T 1 )

Então, nós temos

E T r = ∑ i = 1 r 1 p i = 1 p ∑ i = 0 r - 1 1 p i = 1 p 1 - 1 p r 1 - 1 p = p r - 1 p r ( p - 1 ) .

Resposta

a )   E T r T r - 1 = 1 + T r - 1 + 1 - p E T r

b )   E T r = 1 p 1 + E T r - 1

c )   E T 1 = 1 p

d )   E T r = p r - 1 p r ( p - 1 )