Em uma pesquisa com 1.022 adultos americanos, 779 acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar. (Adaptado de: Gallup Poll.)

(a) Determine a estimativa pontual para a proporção populacional p de adultos americanos que acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar.

(b) Construa um intervalo de confiança de 90% para a proporção populacional. Interprete os resultados.

(c) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional ao nível de confiança de 99% de modo a assegurar que a estimativa diste, no máximo, 4% da proporção populacional.

Passo 1

Olá pessoal, espero que estejam bem e ansiosos para essa resolução. Vem comigo!

Do enunciado temos que:

n = 1022 ;

x = 779 .

A estimativa pontual para a proporção populacional p , é dado por:

p ^ = x n

Onde:

x número de sucessos em uma amostra

n é o tamanho da amostra

p ^ = 779 1022

p ^ = 0,762

Passo 2

No item (b), queremos construir um intervalo de confiança de 90%, para isso iremos verificar se a distribuição amostral de p ^ pode ser aproximada por uma distribuição normal, ou seja:

n p ^ ≥ 5

n q ^ ≥ 5

Onde:

q ^ = 1 - p ^ = 1 - 0,762

q ^ = 0,238

Então:

n p ^ = 1022 ∙ 0 , 762 = 778,8

n q ^ = 1022 ∙ 0 , 238 = 243,2

Sendo assim, podemos dizer que a distribuição amostral de p ^ pode ser aproximada por uma distribuição normal. Então, precisamos encontrar o valor crítico ( z c ) correspondente ao nível de confiança ( c = 0,9 0 ). Para isso utilizaremos a Tabela de distribuição normal, da seguinte maneira:

Temos que z c = 1 , 645 . Com isso conseguimos calcular a margem de erro E :

E = z c p ^ q ^ n = 1,6 45 ∙ 0 , 762 ∙ 0 , 238 1022

E = 0,0 22

Limite inferior:

p ^ - E = 0,762 - 0,0 22 = 0 , 740

Limite superior:

p ^ + E = 0,762 + 0,0 22 = 0 , 784

Intervalo:

p ^ - E < p < p ^ + E

0 , 740 < p < 0 , 784

Com 90% de confiança, podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar está entre 74,0% e 78,4%.

Passo 3

No item (c) queremos descobrir o tamanho mínimo da amostra para:

c = 0,99 ;

E = 0,04 .

Precisamos do valor crítico ( z c ) correspondente ao nível de confiança ( c = 0,9 9 ). Para isso utilizaremos a Tabela de distribuição normal, da seguinte maneira:

Temos que z c = 2,575 . E já sabemos:

p ^ = 0,762 ;

q ^ = 0,238 .

Com isso conseguimos calcular o tamanho da amostra ( n ):

n = p ^ q ^ z c E 2 = ( 0 , 762 ) ∙ ( 0 , 238 ) ∙ 2,575 0,0 4 2

n = 751,6

Como n é decimal, iremos arredondar para o próximo no inteiro, ou seja, n = 752 .

Resposta

  1. p ^ = 0,762
  2. 0,740 < p < 0,784 . Com 90% de confiança, podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar está entre 74,0% e 78,4%.
  3. n = 752   a d u l t o s   a m e r i c a n o s .