Em uma pesquisa com 1.022 adultos americanos, 779 acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar. (Adaptado de: Gallup Poll.)
(a) Determine a estimativa pontual para a proporção populacional de adultos americanos que acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar.
(b) Construa um intervalo de confiança de 90% para a proporção populacional. Interprete os resultados.
(c) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional ao nível de confiança de 99% de modo a assegurar que a estimativa diste, no máximo, 4% da proporção populacional.
Passo 1
Olá pessoal, espero que estejam bem e ansiosos para essa resolução. Vem comigo!
Do enunciado temos que:
;
.
A estimativa pontual para a proporção populacional , é dado por:
Onde:
número de sucessos em uma amostra
é o tamanho da amostra
Passo 2
No item (b), queremos construir um intervalo de confiança de 90%, para isso iremos verificar se a distribuição amostral de pode ser aproximada por uma distribuição normal, ou seja:
Onde:
Então:
Sendo assim, podemos dizer que a distribuição amostral de pode ser aproximada por uma distribuição normal. Então, precisamos encontrar o valor crítico () correspondente ao nível de confiança (). Para isso utilizaremos a Tabela de distribuição normal, da seguinte maneira:

Temos que . Com isso conseguimos calcular a margem de erro :
Limite inferior:
Limite superior:
Intervalo:
Com 90% de confiança, podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar está entre 74,0% e 78,4%.
Passo 3
No item (c) queremos descobrir o tamanho mínimo da amostra para:
;
.
Precisamos do valor crítico () correspondente ao nível de confiança (). Para isso utilizaremos a Tabela de distribuição normal, da seguinte maneira:

Temos que . E já sabemos:
;
.
Com isso conseguimos calcular o tamanho da amostra ():
Como é decimal, iremos arredondar para o próximo no inteiro, ou seja, .
Resposta
- . Com 90% de confiança, podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que os Estados Unidos deveriam dar mais ênfase à produção de energia doméstica a partir da energia solar está entre 74,0% e 78,4%.
- .