Em uma pesquisa com 2.383 adultos americanos, 1.073 acham que deveria haver maior regulação governamental nas companhias de petróleo. (Adaptado de: Harris Interactive.)

  1. Encontre a estimativa pontual para a proporção populacional p de adultos americanos que acham que deveria haver maior regulação governamental nas companhias de petróleo.
  2. Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional. Interprete os resultados.
  3. Determine o tamanho mínimo de amostra necessário para estimar a proporção populacional ao nível de confiança de 99% de modo a assegurar que a margem de erro máxima seja de 3% da proporção populacional.

Passo 1

Olá pessoal, pelo enunciado temos que:

n = 2383 ;

x = 1073 .

  1. A estimativa pontual para a proporção populacional p , é dado por:

p ^ = x n = 1073 2383

p ^ = 0 , 45

Passo 2

No item (b), queremos construir um intervalo de confiança de 95%, para isso iremos verificar se a distribuição amostral de p ^ pode ser aproximada por uma distribuição normal, ou seja:

n p ^ ≥ 5

n q ^ ≥ 5

Onde:

q ^ = 1 - p ^ = 1 - 0 , 45

q ^ = 0 , 55

Então:

n p ^ = 2383 ∙ 0 , 45 = 1072,35

n q ^ = 2383 ∙ 0 , 5 5 = 1310,65

Sendo assim, podemos dizer que a distribuição amostral de p ^ pode ser aproximada por uma distribuição normal. Iremos encontrar o valor crítico ( z c ) correspondente ao nível de confiança de 95% ( c = 0,9 5 ). Para isso utilizaremos a Tabela de distribuição normal, da seguinte maneira:

Temos que z c = 1 , 96 . Com isso conseguimos calcular a margem de erro E :

E = z c p ^ q ^ n = 1 , 96 ∙ 0 , 45 ∙ 0 , 55 2383

E = 0,02

Limite inferior:

p ^ - E = 0,45 - 0,02 = 0 , 43

Limite superior:

p ^ + E = 0,45 + 0,02 = 0 , 47

Intervalo:

p ^ - E < p < p ^ + E

0 , 43 < p < 0 , 47

Com 95% de confiança, podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que deveria haver maior regulação governamental nas companhias de petróleo está entre 43,0% e 47,0%.

Passo 3

No item (c) queremos descobrir o tamanho mínimo da amostra para:

c = 0,99 ;

E = 0,0 3 .

Precisamos do valor crítico ( z c ) correspondente ao nível de confiança ( c = 0,99 ). Para isso utilizaremos a Tabela de distribuição normal, da seguinte maneira:

Temos que z c = 2,575 . E já sabemos:

p ^ = 0 , 45 ;

q ^ = 0 , 55 .

Com isso conseguimos calcular o tamanho da amostra ( n ):

n = p ^ q ^ z c E 2 = ( 0 , 45 ) ∙ ( 0 , 55 ) ∙ 2,575 0,0 3 2

n = 1823,4

Como n é decimal, iremos arredondar para o próximo no inteiro, ou seja, n = 1824 .

Resposta

  1. p ^ = 0 , 45
  2. 0,43 < p < 0,47 . Com 95% de confiança, podemos dizer que a proporção populacional de adultos americanos que acham que deveria haver maior regulação governamental nas companhias de petróleo está entre 43,0% e 47,0%.
  3. n = 1824   a d u l t o s   a m e r i c a n o s .