Uma pessoa possui 100 lâmpadas cujos tempos de vida são exponenciais independentes com média de 5 horas. Se as lâmpadas são usadas uma de cada vez, sendo a Iâmpada queimada imediatamente substituída por uma nova, obtenha uma aproximação para a probabilidade de que ainda exista uma Iâmpada funcionando após 525 horas.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Seja X i representando o tempo de vida (em horas) de ith lâmpada ,   i = 1 ,   … ,   100 . Suponha que as lâmpadas sejam usadas uma de cada vez, sendo a lâmpada defeituosa substituída imediatamente por uma nova. Além disso, deixe que esses tempos de vida sejam variáveis ​​aleatórias exponenciais independentes com o parâmetro λ . Então:

μ = E [ X i ] = 1 λ   e   σ 2 = V a r ( X i ) = 1 λ 2

e como é dado que os tempos de vida são variáveis ​​com média de 5 horas, temos que λ = 1 5 então,

μ = 5     e   σ 2 = 25  

Seja X a vida útil total de todas as lâmpadas: X = ∑ 1 100 X i .

Então, $X$ é uma variável aleatória gama com média E [ X ] = 100 μ = 500 e variância V a r ( X ) = 100 σ 2 = 2500 .

Para aproximar a probabilidade desejada P X > 525 usamos o teorema do limite central:

P X > 525 = 1 - P X ≤ 525 = 1 - P X - 500 2500 ≤ 525 -   500 2500 ≈ 1 - Φ 0 , 5

(Observação: Utilizamos a tabela 5.1) = 1 - 0 , 6915 = 0 , 3085 .

Resposta

0 ,   3085 .