Um ponto é escolhido aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento L. Interprete este enunciado e determine a probabilidade de que a relação entre o segmento mais curto e o mais longo seja menor que 1/4.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O problema no dá a informação um segmento de linha A B com comprimento L . Um ponto é escolhido aleatoriamente no segmento, com isso, nós temos que encontrar a probabilidade da proporção do segmento mais curto para o mais longo é menor que um quarto.

Seja o segmento de reta de comprimento uniforme L . Vamos deixar o ponto

escolhido aleatoriamente no segmento ser X , a uma distância de x para A . Portanto, é

distância de L - x para B . Com isso vamos determinar o seguinte

P min ⁡ x , L - x max ⁡ x , L - x < 1 4

Vamos lá encontrar esse termo!!!

Passo 2

Vamos separar em dois casos, o primeiro será com o mínimo sendo igual a x e o segundo sendo o mínimo igual ao termo L - x , agora, resolvendo o primeiro caso, nós temos

C a s o   1 : min ⁡ x , L - x = x , portanto

min ⁡ { x , L - x } max ⁡ { x , L - x } < 1 4

Já sabemos que o mínimo é x , e o máximo será, portanto, L - x , com essa informação, podemos avançar nessa resolução, logo

x L - x < 1 4

Manipulando um pouco mais essa inequação, obtemos

x < 1 4 L - x → 5 4 x < 1 4 L

Portanto,

x < L 5

Passo 3

Agora, vamos para o segundo caso

C a s o   2 : min ⁡ x , L - x = L - x

min ⁡ { x , L - x } max ⁡ { x , L - x } < 1 4

Como o mínimo é igual a L - x , o máximo será igual respectivamente a x , com isso

L - x x < 1 4 → L - x < x 4

Mexendo um pouco mais com essa inequação

L < 5 4 x

Portanto

x > 4 5 L

Passo 4

Uma vez que o segmento de linha dado é de comprimento uniforme L . Assim, a função densidade é dada como

f x = 1 L ;     x ∈ [ 0 , L ]

Portanto, nós temos a seguinte relação

P min ⁡ x , L - x max ⁡ x , L - x < 1 4 =   ∫ 0 L 5 f x   d x +   ∫ 4 L 5 L f x   d x

Substituindo o f ( x ) pela função densidade, nós temos

P min ⁡ x , L - x max ⁡ x , L - x < 1 4 =   ∫ 0 L 5 1 L   d x + ∫ 4 L 5 L 1 L   d x

Já temos os valores dos extremos da integral, então vamos substituir isso tudo

P min ⁡ x , L - x max ⁡ x , L - x < 1 4 = 1 L L 5 - 0 + L - 4 L 5

Isso nos dá exatamente o seguinte resultado

P min ⁡ x , L - x max ⁡ x , L - x < 1 4 = 1 L 2 L 5 = 2 4

Portanto, a probabilidade de que a razão entre o segmento mais curto e o mais longo seja menor que um quarto é 2 5 .

Resposta

2 5