Um ponto é escolhido aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento L. Interprete este enunciado e determine a probabilidade de que a relação entre o segmento mais curto e o mais longo seja menor que 1/4.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
O problema no dá a informação um segmento de linha com comprimento . Um ponto é escolhido aleatoriamente no segmento, com isso, nós temos que encontrar a probabilidade da proporção do segmento mais curto para o mais longo é menor que um quarto.
Seja o segmento de reta de comprimento uniforme . Vamos deixar o ponto
escolhido aleatoriamente no segmento ser , a uma distância de para . Portanto, é
distância de para . Com isso vamos determinar o seguinte
Vamos lá encontrar esse termo!!!
Passo 2
Vamos separar em dois casos, o primeiro será com o mínimo sendo igual a e o segundo sendo o mínimo igual ao termo , agora, resolvendo o primeiro caso, nós temos
, portanto
Já sabemos que o mínimo é , e o máximo será, portanto, , com essa informação, podemos avançar nessa resolução, logo
Manipulando um pouco mais essa inequação, obtemos
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos para o segundo caso
Como o mínimo é igual a , o máximo será igual respectivamente a , com isso
Mexendo um pouco mais com essa inequação
Portanto
Passo 4
Uma vez que o segmento de linha dado é de comprimento uniforme . Assim, a função densidade é dada como
Portanto, nós temos a seguinte relação
Substituindo o pela função densidade, nós temos
Já temos os valores dos extremos da integral, então vamos substituir isso tudo
Isso nos dá exatamente o seguinte resultado
Portanto, a probabilidade de que a razão entre o segmento mais curto e o mais longo seja menor que um quarto é .