Se 65% da população de uma grande comunidade são a favor de um aumento proposto para as taxas escolares, obtenha uma aproximação para a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 pessoas contenha

(a) pelo menos 50 pessoas a favor da proposta;

(b) entre 60 e 70 pessoas (inclusive) a favor;

(c) menos de 75 pessoas a favor.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos denotar por X o número de pessoas fora da amostra aleatória de tamanho n = 100 em

favor do aumento proposto. Dado que

p = P s u c e s s o = 0,65

Portanto, nós temos a seguinte configuração, dado que n = 100 é uma amostra muito grande, podemos fazer a conversão de binomial para normal, com isso

X   ~ B i n 100 ; 0,65 ≈ N ( 65 ; 22,75 )

Passo 2

A – A probabilidade de pelo menos 50 pessoas a favor da proposta é dada por

P X ≥ 50 = 1 - P X < 50

Desenvolvendo e colocando aos moldes da distribuição normal, nós temos que

P X ≥ 50 = 1 - P X - μ σ < 50 - 65 4,77

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P X ≥ 50 = 1 - P Z < - 3,144 = 1 - P [ Z > 3,144 ]

Invertendo a desigualdade, temos

P X ≥ 50 = P Z < 3,144 = Φ 3,144

Substituindo os valores na equação, nós temos que

P X ≥ 50 = 0,9988

Passo 3

B – Para a letra b, esse “inclusive” muda um pouco as coisas, mas não muito, então vamos lá, a probabilidade de entre 60 e 70 pessoas (inclusive) a favor é de

P 60 ≤ X ≤ 70 = P 60 - 65 4,77 ≤ X - μ σ ≤ 70 - 65 4,77

Com isso, nós temos que

P 60 ≤ X ≤ 70 = P - 1,05 ≤ X ≤ 1,05

Essa probabilidade é simétrica, podemos então escrever da seguinte forma

P 60 ≤ X ≤ 70 = 2 × P 0 ≤ X ≤ 1,05 = 2 × Φ 1,05

Pela tabela, nós temos que

P 60 ≤ X ≤ 70 = 2 × 0,3621 = 0,72

Passo 4

C – A probabilidade para esse caso é de

P X < 75 = P X - μ σ < 75 - 65 4,77

Com isso, nós temos que

P X < 75 = P Z < 2,096 = Φ 2,096

Substituindo os valores, nós temos

P X < 75 = 0,9817

Resposta

a )   0,9988

b )   0,72

c )   0,9817