Enunciado

No Problema 3.66a, determine a probabilidade condicional de que os relés 1 e 2 estejam ambos fechados dado que uma corrente circule de A para B.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Um circuito elétrico de A para B, 5 chaves independentes, então vamos identificar o evento em torno do enunciado

C i - E v e n t o   q u e   a   c h a v e   i   é   f e c h a d a

Dado esse evento temos a seguinte probabilidade

P C i = p i ,     i = 1,2 , 3,4 , 5

O que queremos calcular é a probabilidade que as chaves 1 e 2 estão fechadas ao mesmo tempo dado que a corrente vai fluir no circuito, ou seja,

P ( C 1 C 2 | E )

Passo 2

Para o caso de P ( E ) , nós temos que usar a fórmula de inclusão e exclusão, já que nós vemos que a corrente vai fluir nas chaves 1,2,5 ou nas chaves 3,4,5. Com isso, nós temos que

P E = P ( C 1 C 2 C 5 ∪ C 3 C 4 C 5 )

Desenvolvendo o produto, nós temos que

P E = P C 1 C 2 C 5 + P C 3 C 4 C 5 - P ( C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 )

Com o principio multiplicativo, nós obtemos o seguinte resultado

P E = P C 1 P C 2 P C 5 + P C 3 P C 4 P C 5 - P C 1 P C 2 P C 3 P C 4 P ( C 5 )

Substituindo os termos

P E = p 1 p 2 p 5 + p 3 p 4 p 5 - p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 = p 1 p 2 + p 3 p 4 - p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

Passo 3

Para o caso da probabilidade de P ( C 1 C 2 ∩ E ) , a corrente irá fluir, e o chaves 1 e 2 são fechadas se e somente C 1 C 2 C 5 ocorre.

P C 1 C 2 E = P [ C 1 C 2 C 1 C 2 C 5 ∪ C 3 C 4 C 5 ]

Manipulando um pouco mais esse termo

P C 1 C 2 E = P C 1 C 2 C 1 C 2 ∪ C 3 C 4 C 5 = P ( C 1 C 2 C 5 )

Substituindo...

P C 1 C 2 E = p 1 p 2 p 5

Agora aplicando a definição de probabilidade condicional, nós temos que

P C 1 C 2 E = P C 1 C 2 E P E

Para obter o seguinte resultado...

P C 1 C 2 E = p 1 p 2 p 5 p 1 p 2 + p 3 p 4 - p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

Com isso, nós temos

P C 1 C 2 E = p 1 p 2 ( p 1 p 2 + p 3 p 4 - p 1 p 2 p 3 p 4 )

Resposta

P C 1 C 2 E = p 1 p 2 ( p 1 p 2 + p 3 p 4 - p 1 p 2 p 3 p 4 )