o problema do pareamento generalizado, há n indivíduos dos quais n, usam um chapéu de tamanho i ,   ∑ i = 1 r n i = n . Há também n chapéus, dos quais h i , são de tamanho i , ∑ i = 1 r n i =   n . Se cada indivíduo escolhe aleatoriamente um chapéu (sem reposição), determine o número esperado de indivíduos que escolhem um chapéu que se ajusta ao seu tamanho.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Defina as variáveis ​​aleatórias indicadoras I i ,   j que marcam se j o indivíduo de tamanho i usa ou não um chapéu do seu tamanho. Agora, o número de indivíduos que usam chapéu de seus tamanhos é igual a:

X = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 n i I i j

Aplicando a expectativa e usando o fato de que P ( I i ,   j = 1 ) = h i n , temos:

E X = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 n i I i j E I i ,   j = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 n h i n = 1 n = ∑ i = 1 r n i h i

Resposta

A média exigida é igual a E ( X ) = 1 n ∑ i = 1 r n i h i .

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