No Problema 7.70, suponha que a moeda seja jogada n vezes e que X represente o número de caras que aparecem. Mostre que

P X = i =   1 n + 1               i = 0,1 , … ,   n

Dica: Utilize o fato que

∫ 0 1 x a - 1 1 - x b - 1 d x =   a - 1 ! b - 1 ! a + b - 1 !

onde a e b são inteiros positivos.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Do enunciado do problema anterior temos que o valor de p é distribuído uniformemente no intervalo [0,1]. Determinando a probabilidade, temos que:

P X = i = ∫ 0 1 n i p i 1 - p n - i d p               i = 0,1 , 2 , … ,   n

P X = i = ∫ 0 1 n ! i ! n - i ! p i 1 - p n - i d p

P X = i = n ! i ! n - i ! ∫ 0 1 p i 1 - p n - i d p

Essa integral acima pode ser calculada através da dica dada no enunciado, onde:

∫ 0 1 x a - 1 1 - x b - 1 d x =   a - 1 ! b - 1 ! a + b - 1 !

Onde a – 1 = i e e b – 1 = n – i, logo:

P X = i = n ! i ! n - i ! . i ! ( n - i ) ! n + i !

P X = i = n ! n + i ! = 1 n + i  

Como queríamos demonstrar.

Resposta

P X = i = n ! n + i ! = 1 n + i como queríamos demonstrar.