Enunciado

Propriedade de falta de memória. Mostre que para uma variável aleatória exponencial X, P ( X < t 1 + t 2 | X > t 2 ) = P ( X < t 2 )

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o parâmetro λ . É uma variável aleatória contínua com a função de distribuição de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x ≥ 0

F ( x ) = 1 - e - λ x ,   x ≥ 0

Passo 2

Usando a definição de probabilidade condicional e a fórmula acima, vamos calcular:

P ( X < t 1 + t 2 | X > t 1 ) = P ( t 1 < X < t 1 + t 2 ) P ( X > t 1 ) = F ( t 1 + t 2 ) - F ( t 1 ) 1 - F ( t 1 ) =

= 1 - e - λ t 1 e - λ t 2 - 1 + e - λ t 1 e - λ t 1 = e - λ t 1 ( 1 - e - λ t 2 ) e - λ t 1 =

= 1 - e - λ t 2 = F ( t 2 ) = P ( X < t 2 )

Resposta

Use a definição de probabilidade condicional e a fórmula para função de distribuição cumulativa da variável aleatória exponencial para calcular diretamente P ( X < t 1 + t 2 | X > t 1 ) e mostrar que é igual a P ( X < t 2 ) .

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