Quarenta e quatro por cento dos adultos americanos acreditam que o sistema de justiça dos Estados Unidos é justo para a maioria dos americanos. Você seleciona aleatoriamente nove adultos americanos. Determine a probabilidade de que o número de adultos americanos que acreditam que o sistema de justiça dos Estados Unidos é justo para a maioria dos americanos seja (a) exatamente três, (b) no máximo quatro e (c) mais que sete. (Fonte: Rasmussen Reports.)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Antes de começarmos, temos que ter em mente que aqui para resolvermos o nosso exercício vamos construir a distribuição de probabilidade binominal, e para isso vamos usar a fórmula:

P x = C x n p x q n - x

Além disso, importante relembrar que:

C x n = n ! x ! n - x !

Logo:

P x = n ! x ! n - x ! p x q n - x

Aonde que:

n → n ú m e r o   t o t a l   d e   t e n t a t i v a s p → a   p r o b a b l i d a d e   d e   s u c e s s o   e m   u m a   ú n i c a   t e n t a t i v a q → a   p r o b a b i l i d a d e   d e   u m   f r a c a s s o x → n ú m e r o   d e   s u c e s s o s   e m   t o d a s   a s   t e n t a t i v a s

Show, pelo enunciado, vamos ver que:

n = 9 p = 44 % = 0,44

q = 1 - 0 , 44 = 0 , 56 x = 0,1 , 2,3 , 4 , 5,6 , 7,8   e   9

Beleza, no enunciado ele pede a probabilidade de que exatamente 3 adultos americanos selecionados acreditem que o sistema de justiça dos EUA seja justo:

x = 3

Logo:

P 3 = 9 ! 3 ! 9 - 3 ! ( 0,44 ) 3 ( 0,56 ) 9 - 3

P 3 = 0,221

Portanto, a probabilidade é de 0,221 .

Passo 2

Agora vamos para a letra (b). Aqui queremos a probabilidade de no máximo 4 adultos americanos selecionados acreditem no sistema do EUA, ou seja:

P ( x ≤ 4 )

Porém, podemos fazer a seguinte relação:

P x ≤ 4 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P ( 4 )

Então temos que calcular cada probabilidade e depois somar:

n = 9 p = 0,44

q = 0,56

P x = n ! x ! n - x ! p x q n - x

Substituindo:

P 0 = 9 ! 0 ! 9 - 0 ! ( 0 , 44 ) 0 ( 0 , 56 ) 9 - 0 = 0,0 054

P 1 = 9 ! 1 ! 9 - 1 ! ( 0,44 ) 1 ( 0,56 ) 9 - 1 = 0,0 383

P 2 = 9 ! 2 ! 9 - 2 ! ( 0,44 ) 2 ( 0,56 ) 9 - 2 = 0 , 120 4

P 3 = 9 ! 3 ! 9 - 3 ! ( 0,44 ) 3 ( 0,56 ) 9 - 3 = 0 , 22 0 7

P 4 = 9 ! 4 ! 9 - 4 ! ( 0,44 ) 4 ( 0,56 ) 9 - 4 = 0 , 26 0 1

Somando tudo:

P x ≤ 4 = 0,0054 + 0,0383 + 0,1204 + 0,2207 + 0,2601

P x ≤ 4 = 0,645

Portanto, a probabilidade é de 0 , 645 .

Passo 3

E por fim, vamos para a letra (c). Agora vamos calcular a probabilidade de que mais de 7 adultos americanos sejam selecionados, ou seja:

P ( x > 7 )

Importante lembrar que aqui no nosso exercício o número máximo de candidatos são 9 . Então podemos fazer a seguinte relação:

P x > 7 = P 8 + P ( 9 )

Pegando aqui informações dadas antes:

n = 9 p = 0,44

q = 0,56

P x = n ! x ! n - x ! p x q n - x

Calculando:

P 8 = 9 ! 8 ! 9 - 8 ! ( 0,44 ) 8 ( 0,56 ) 9 - 8 = 0 , 007 1

P 9 = 9 ! 9 ! 9 - 9 ! ( 0,44 ) 9 ( 0,56 ) 9 - 9 = 0,00 06

Somando:

P x > 7 = 0,0071 + 0,0006 = 0,0077

Portanto, a probabilidade é de 0 , 0077 .

Resposta

a )   P 3 = 0,221

b ) P x ≤ 4 = 0,645

c ) P x > 7 = 0,0077