Realizam-se mil jogadas independentes de um dado honesto. Calcule a probabilidade aproximada de que o número 6 apareça entre 150 e 200 vezes, inclusive.

Se o número 6 aparecer exatamente 200 vezes, determine a probabilidade de que o número 5 apareça menos de 150 vezes.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado o número de lançamentos do dado são n = 1000 . Vamos deixar que o evento de seis chegando seja sucesso. Então, em cada tentativa, a probabilidade de sucesso é

p = P s u c e s s o = 1 6

Let X ser a variável aleatória para o número de seis nas jogadas do dado. Então

X ~ ( 1000 , 1 6 )

Como n é muito grande, a variável aleatória binomial pode ser aproximada como

variável aleatória normal com média μ = n p = 1000 × 1 6 = 166,67 e a variância é dada pela aquela fórmula

σ 2 = n p 1 - p = 1000 × 1 6 × 1 5 = 138,85

Portanto, podemos aproximar X a

X   ~   N ( 166.67 ,   138.85 )

Passo 2

Agora, vamos calcular a probabilidade

P 150 ≤ X ≤ 200 = P 150 - 166,67 11,78 ≤ X - μ σ ≤ 200 - 166,78 11,78

Fazendo os cálculos, obtemos os seguintes resultados

P 150 ≤ X ≤ 200 = P [ - 1,41 ≤ Z ≤ 2,83 ]

Logo, temos a seguinte configuração para a integral

P 150 ≤ X ≤ 200 = P Z ≤ 2,83 - P Z < - 1,41

Indo para a tabela, nós temos

P 150 ≤ X ≤ 200 = Φ 2,83 - Φ - 1,41 = 0,9977 - 0,0793

E com isso,

P 150 ≤ X ≤ 200 = 0,9164

Assim, a probabilidade de o número 6 aparecer entre 150 a 200 vezes exclusivamente é de 0,92

Passo 3

Agora, dado que 6 apareceu exatamente 200 vezes, devemos ter os outros números

aparecendo nas outras 800 jogadas. Assim, para as 800 jogadas, que venha o evento do número 5 seja sucesso. Então,

p = P s u c e s s o = 1 5

Como n = 800 ainda é número muito grande, esta variável binomial pode ser aproximada para uma variável normal com média μ = n p = 800 5 = 160 e a variância igual a σ 2 = n p 1 - p = 800 × 1 5 × 1 5 = 128 . Portanto

Y   ~   N ( 160,128 )

Agora, vamos partir para a probabilidade propriamente dita, com isso

P Y < 150 = P Y - μ σ < 150 - 160 11,31  

Fazendo a operação de divisão, nós temos

P Y < 150 = P Z < - 0,928 = Φ ( - 0,928 )

Pela tabela, é igual a

P Y < 150 = 0,1767

Assim, a probabilidade de 5 aparecer menos de 150 vezes dado que 6 apareceu exatamente 200 vezes é de 0,1767 .

Resposta

P 150 ≤ X ≤ 200 = 0,9164

P Y < 150 = 0,1767