Realizando um teste qui-quadrado para independência Nos exercícios 13 a 22, realize o teste qui-quadrado para independência indicado fazendo o seguinte:

(a) Identifique a afirmação e declare H0 e Ha .

(b) Determine os graus de liberdade e o valor crítico e identifique a região de rejeição.

(c) Calcule a estatística de teste qui-quadrado. Se for conveniente, use tecnologia.

(d) Decida se rejeita ou não a hipótese nula.

(e) Interprete a decisão no contexto da afirmação original.

Conquistas e localização da escola A tabela de contingência a seguir mostra os resultados de uma amostra aleatória de estudantes, que atingiram níveis básicos de habilidade em três matérias, distribuídos em função da localização da escola. Com a = 0,01, teste a hipótese de que as variáveis são independentes. (Adaptado de: HUD State of the Cities Report.)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a):

Nesse exercício iremos avaliar se existe dependência entre as variáveis localização da escola e matéria acadêmica. Para isso, precisamos definir as hipóteses nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ) .

H 0 : a s   v a r i á v e i s   l o c a l i z a ç ã o   d a   e s c o l a   e   m a t é r i a   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

H a : a s   v a r i á v e i s   l o c a l i z a ç ã o   d a   e s c o l a   e   m a t é r i a   s ã o   d e p e n d e n t e s

Passo 2

Show, vamos para a letra (b). Para determinar o valor crítico e identificar a região de rejeição é necessário entrar o grau de liberdade e o nível de significância do teste.

O nível de significância foi dado no enunciado:

α = 0,01

Agora precisamos determinar o grau de liberdade. No caso, ele é de acordo com o número de linhas e o número de colunas:

Logo, teremos:

g . l = ( r - 1 ) ( c - 1 )

g . l = 2 - 1 3 - 1 = 2

Com o nível de significância de 1% e 2 graus de liberdade, o valor crítico será X 2 = 9 , 210 e a região crítica será X 0 2 > 9 , 2 1 0 .

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (c):

Aqui vamos calcular a frequência esperada para cada célula na tabela. Para isso, vamos usar a fórmula

E r , c = s o m a   d a   l i n h a   r s o m a   d a   c o l u n a   c t a m a n h o   d a   a m o s t r a

Se a gente pegar a nossa tabela,

Vamos começar a calcular cada uma:

E 1,1 = 43 + 42 + 38 43 + 63 3 17 = 41,13

E 1,2 = 43 + 42 + 38 42 + 66 317 = 41 , 91

E 1,3 = 43 + 42 + 38 38 + 65 317 = 39 , 97

E 2,1 = 63 + 66 + 65 43 + 63 317 = 64 , 87

E 2,2 = 63 + 66 + 65 42 + 66 317 = 66,0 9

E 2,3 = 63 + 66 + 65 38 + 65 317 = 63 , 03

Passo 4

A estatística de teste será calculada com as frequências esperadas calculadas no Passo 3 e observadas que estão presentes na tabela.

E 1,1 = 41,13

E 1,2 = 41,91

E 1,3 = 39,97

E 2,1 = 64,87

E 2,2 = 66,09

E 2,3 = 63,03

Vamos calcular usando a fórmula:

X 0 2 = ∑ O - E 2 E

Usando a frequência esperada calculada com o valor da tabela de acordo com a coordenada da frequência esperada, somando tudo vamos encontrar:

X 0 2 = ( 43 - 41,13 ) ² 41,13 + 42 - 41,91 2 41,91 + 38 - 39,97 2 39,97 + … + 65 - 63,03 2 63,03

X 0 2 = 0 , 296983

Portanto, a estatística de teste resulta em 0 , 296983 .

Passo 5

Show, vamos para a letra (d):

Para rejeitar ou não a hipótese nula, é preciso verificar se a estatística de teste se encontra dentro da região de rejeição. Como:

X 0 2 = 0,296983

R e g i ã o   C r í t i c a :   X 0 2 > 9,210

Como podemos ver, X 0 2 < 9,210 , logo a hipótese nula não deve ser rejeitada.

Passo 6

Por fim, vamos para a letra (e):

Podemos afirmar que existem evidências de que as variáveis localização da escola e matéria são independentes, ou seja, uma não influencia na outra.

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o