Realizando um teste qui-quadrado para independência Nos exercícios 13 a 22, realize o teste qui-quadrado para independência indicado fazendo o seguinte:

(a) Identifique a afirmação e declare H0 e Ha .

(b) Determine os graus de liberdade e o valor crítico e identifique a região de rejeição.

(c) Calcule a estatística de teste qui-quadrado. Se for conveniente, use tecnologia.

(d) Decida se rejeita ou não a hipótese nula.

(e) Interprete a decisão no contexto da afirmação original.

Atitudes em relação à segurança A tabela de contingência a seguir mostra os resultados de uma amostra aleatória de alunos por tipo de escola e suas atitudes com relação às medidas de segurança tomadas pelos funcionários da escola. Para a = 0,01, você pode concluir que as atitudes em relação às medidas de segurança tomadas pelos funcionários da escola estão relacionadas ao tipo de escola? (Adaptado de: Horatio Alger Associaton.)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a):

Nesse exercício iremos avaliar se existe dependência entre as variáveis localização da escola e matéria acadêmica. Para isso, precisamos definir as hipóteses nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ) .

H 0 : a s   v a r i á v e i s   t i p o   d e   e s c o l a   e   a s   a t i t u d e s   d o s   a l u n o s   e m   r e l a ç ã o   à s   m e d i d a s   d e   s e g u r a n ç a   d a   e s c o l a s ã o   i n d e p e n d e n t e s

H a : a s   v a r i á v e i s   t i p o   d e   e s c o l a   e   a s   a t i t u d e s   d o s   a l u n o s   e m   r e l a ç ã o   à s   m e d i d a s   d e   s e g u r a n ç a   d a   e s c o l a s ã o   d e p e n d e n t e s

Passo 2

Show, vamos para a letra (b). Para determinar o valor crítico e identificar a região de rejeição é necessário entrar o grau de liberdade e o nível de significância do teste.

O nível de significância foi dado no enunciado:

α = 0,01

Agora precisamos determinar o grau de liberdade. No caso, ele é de acordo com o número de linhas e o número de colunas:

Logo, teremos:

g . l = ( r - 1 ) ( c - 1 )

g . l = 2 - 1 2 - 1 = 1

Com o nível de significância de 1% e 1 graus de liberdade, o valor crítico será X 2 = 6 , 635 e a região crítica será X 0 2 > 6 , 635 .

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (c):

Aqui vamos calcular a frequência esperada para cada célula na tabela. Para isso, vamos usar a fórmula

E r , c = s o m a   d a   l i n h a   r s o m a   d a   c o l u n a   c t a m a n h o   d a   a m o s t r a

Se a gente pegar a nossa tabela,

Vamos começar a calcular cada uma:

E 1,1 = 40 + 51 40 + 64 1 89 = 50 , 07

E 1,2 = 40 + 51 51 + 34 189 = 40 , 9 3

E 2,1 = 6 4 + 34 40 + 64 1 89 = 53 , 93

E 2,2 = 6 4 + 3 4 51 + 34 1 89 = 44 , 0 7

Passo 4

A estatística de teste será calculada com as frequências esperadas calculadas no Passo 3 e observadas que estão presentes na tabela.

E 1,1 = 50,07

E 1,2 = 40,93

E 2,1 = 53,93

E 2,2 = 44,07

Vamos calcular usando a fórmula:

X 0 2 = ∑ O - E 2 E

Usando a frequência esperada calculada com o valor da tabela de acordo com a coordenada da frequência esperada, somando tudo vamos encontrar:

X 0 2 = ( 40 - 50,07 ) ² 50,07 + 51 - 4 0 , 9 3 2 4 0 , 9 3 + 64 - 53 , 9 3 2 53 , 9 3 + 34 - 44 , 0 7 2 44 , 0 7

X 0 2 = 8 , 684085

Portanto, a estatística de teste resulta em 8 , 684085 .

Passo 5

Show, vamos para a letra (d):

Para rejeitar ou não a hipótese nula, é preciso verificar se a estatística de teste se encontra dentro da região de rejeição. Como:

X 0 2 = 8 , 684085

R e g i ã o   C r í t i c a :   X 0 2 > 6 , 635

Como podemos ver, X 0 2 > 6 , 635 , logo a hipótese nula deve ser rejeitada.

Passo 6

Por fim, vamos para a letra (e):

Podemos afirmar que existem evidências de que as variáveis localização da escola e matéria são dependentes, ou seja, uma influência na outra.

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o