Repita o Problema 7.68 quando a proporção da população com valor de λ menor que x é igual a 1 - e - x .

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos definir como X o número de acidente que uma pessoa tem em um dado ano, onde X é uma variável de Poisson com média λ. Porém com as novas condições impostas nesse problema temos que λ é uma função de distribuição exponencial. Isso implica em:

f λ s = e - s       p a r a       s > 0  

(a) Determinando a probabilidade de zero acidentes:

P X = 0 = ∫ 0 ∞ P ( X = 0 λ = s ) f λ s d s

P X = 0 = ∫ 0 ∞ s 0 e - s 0 ! e - s d s =   ∫ 0 ∞ e - 2 s d s =   1 2

Passo 2

(b) De modo semelhante vamos determinar a probabilidade de três acidentes:

P X = 3 = ∫ 0 ∞ P ( X = 3 λ = s ) f λ s d s

P X = 3 = ∫ 0 ∞ s 3 e - s 3 ! e - s d s =   ∫ 0 ∞ s ³ e - 2 s d s =   1 16

Agora, para que haja três acidentes com a condição que no ano anterior não houveram acidentes, vamos definir Y como o número de acidentes no ano anterior e assim como X, Y é uma variável de Poisson com média λ.

Vale lembrar que X e Y são variáveis não independentes, mas ambas dependem de λ. Contudo elas serão independentes se fixarmos o parâmetro λ. Assim, temos que:

P X = 3 Y = 0   =   P { X = 3 , Y = 0 } P { Y = 0 }

Sabemos que:

P X = 0 =   P Y = 0 =   1 2

Logo, vamos determinar P { X = 3 , Y = 0 } :

P X = 3 , Y = 0 = ∫ 0 ∞ P ( X = 3 , Y = 0 λ = s ) f λ s d s

P X = 3 , Y = 0 = ∫ 0 ∞ s 3 e - s 3 ! . e - s . e - s d s =   ∫ 0 ∞ s ³ e - 3 s d s =   1 81

Assim, encontramos que:

P X = 3 Y = 0   =   1 81 1 2 = 2 81

Resposta

(a) P X = 0 = 1 2

(b) P X = 3 = 1 16     e   P X = 3 Y = 0 = 2 81