Enunciado

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Sabe-se que a vida em horas de um bulbo de uma lâmpada de 75 W é distribuída normalmente como σ = 25 horas. Uma amostra aleatória de 20 bulbos tem uma vida média de x _ = 1014 horas.

  1. Construa um intervalo bilateral de confiança de 95% para vida média.
  2. Construa um limite inferior de confiança de 99% para a vida média. Compare o limite inferior desse intervalo de confiança com aquele do item a.

Passo 1

Se x _ é a média da amostra de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com variância conhecida σ 2 , um IC de 100 ( 1 - α ) 2 em μ é dado por:

x _ - z α 2 σ n ≤ μ ≤ x _ + z α 2 σ n ,

onde z a 2 é o ponto percentual superior de 10 0 a 2 da distribuição normal padrão. O enunciado nos da um IC de 95% com um desvio padrão de s = 25, n = 20 e x _ = 1014.

Passo 2

Letra a:

Então,

α = 1 - 0.95 = 0.05

z 0.05 2 = 1.96

Das equações acima, temos:

1014 - z 0.05 2 25 20 ≤ μ ≤ 1014 + z 0.05 2 25 20

Portanto, um IC de 95% para μ é:

1003.04 ≤ μ ≤ 1024.97

Passo 3

Letra b:

Um limite de confiança superior de 100 ( 1 - a ) % para μ é dado por

μ ≤ x _ + z α 2 σ n ,

Então,

α = 1 - 0.95 = 0.05

z 0.05 = 1.64

Das equações acima:

1014 - 1.64 25 20 ≤ μ ,

1014 - 1.64 × 5.59 ≤ μ

Um limite de confiança inferior de 95% para μ   é:

1004.83 ≤ μ

Comparando as soluções em a) e b), concluímos que o limite superior unilateral é menor que um limite superior bilateral de confiança igual.

Isso ocorre porque z α < z α 2

Resposta

  1. 1003.04≤ μ ≤ 1024.97
  2. 1004.83 ≤ μ

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