Se X e Y são variáveis aleatórias binomiais independentes com parâmetros n e p idênticos, mostre analiticamente que a distribuição condicional de X dado que X + Y = m é hipergeométrica. Além disso, forneça um segundo argumento que leve ao mesmo resultado sem nenhum cálculo.

Dica: Suponha que 2n moedas sejam jogadas. Represente com X o número de caras obtidas nas primeiras n jogadas, e com Y o número de caras obtidas na segunda sequência de n jogadas. Mostre que, dado um total de m caras, o número de caras nas primeiras n jogadas tem a mesma distribuição que o número de bolas brancas selecionadas quando uma amostra de tamanho m é sorteada de n bolas brancas e n bolas pretas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos supor que X + Y = m ∈ { 0 , … , 2 n } . Pegando qualquer k ∈ { 0 , … , n } desde que k ≤ m , nós temos que

P X = k X + Y = m = P X = k ,   X + Y = m P ( X + Y = m )

Usando o princípio multiplicativo, nós temos que

P X = k X + Y = m = P X = k P ( Y = m - k ) P X + Y = m

Passo 2

Desde que a soma de duas binomiais continua sendo uma binomial, ou seja, X + Y   ~   B i n o m ( 2 n , p ) , nós temos que

P X = k P ( Y = m - k ) P X + Y = m = n k p k 1 - p n - k ∙ n m - k 1 - p n - m + k 2 n m p m 1 - p 2 n - m

Com isso, nós temos que

P X = k P ( Y = m - k ) P X + Y = m = n k ∙ n m - k 2 n m

Assim, provamos que X tem distribuição condicionalmente hipergeométrica. É consistente com a nossa intuição. Suponha que jogamos uma moeda 2n vezes e obtivemos m caras. Queremos saber qual é a probabilidade de termos obtido k caras nas primeiras n tentativas. Isso implica que deve haver m - k cabeças nas últimas n tentativas, o que indica distribuição hipergeométrica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)