Se X e Y são variáveis aleatórias binomiais independentes com parâmetros n e p idênticos, mostre analiticamente que a distribuição condicional de X dado que X + Y = m é hipergeométrica. Além disso, forneça um segundo argumento que leve ao mesmo resultado sem nenhum cálculo.
Dica: Suponha que 2n moedas sejam jogadas. Represente com X o número de caras obtidas nas primeiras n jogadas, e com Y o número de caras obtidas na segunda sequência de n jogadas. Mostre que, dado um total de m caras, o número de caras nas primeiras n jogadas tem a mesma distribuição que o número de bolas brancas selecionadas quando uma amostra de tamanho m é sorteada de n bolas brancas e n bolas pretas.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos supor que . Pegando qualquer desde que , nós temos que
Usando o princípio multiplicativo, nós temos que
Passo 2
Desde que a soma de duas binomiais continua sendo uma binomial, ou seja, , nós temos que
Com isso, nós temos que
Assim, provamos que X tem distribuição condicionalmente hipergeométrica. É consistente com a nossa intuição. Suponha que jogamos uma moeda 2n vezes e obtivemos m caras. Queremos saber qual é a probabilidade de termos obtido k caras nas primeiras n tentativas. Isso implica que deve haver m - k cabeças nas últimas n tentativas, o que indica distribuição hipergeométrica.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)