Se X, Y, e Z são variáveis aleatórias independentes com mesma função densidade f x =   e - x , 0 , deduza a distribuição conjunta de U = X + Y, V = X + Z, W=Y + Z.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Nós temos que:

f X , Y , Z   ( x , y , z )   =   f X   ( x ) . f Y   ( y ) . f Z   ( z )   = e - ( x + y + z )  

Aplicando a transformação g :   ( 0 , ∞ ) ³   → R ³ de modo que:

g ( x , y , z )   =   ( u , v , w )   =   ( x + y ,   x + z ,   y + z )

Usando o teorema sobre transformação de variáveis, temos que a função densidade do vetor aleatório (U,V,W) = g(X,Y,Z) pode ser escrito como:

f U , V , W   ( u , v , w )   = f X , Y , Z   ( x , y , z ) . d e t ( ∇ g ( x , y , z ) ) - 1

Vamos calcular ∇ g ( x , y , z ) , que é a matriz dada pelas derivadas de cada um dos componentes de g(x,y,z) em relação a cada uma das suas variáveis, ou seja:

d ( x + y ) d x = 1 d ( x + y ) d y = 1 d ( x + y ) d z = 0

d ( x + z ) d x = 1 d ( x + z ) d y = 0 d ( x + z ) d z = 1

d ( y + z ) d x = 0 d ( y + z ) d y = 1 d ( y + z ) d z = 1

Logo a matriz fica assim:

∇ g ( x , y , z ) = 1 1 0 1 0 1 0 1 1

Calculando seu determinante, temos:

d e t ( ∇ g ( x , y , z ) )   =   2

Portanto,

f U , V , W   ( u , v , w )   = e - ( x + y + z ) . ( 2 ) - 1   =   1 2 . e - ( x + y + z )

A única coisa que falta é escrevermos x, y e z em termos de u, v e w.

Temos que u+v+w = 2(x+y+z)

Assim, substituindo da função densidade, obtemos:

f U , V , W   ( u , v , w )   =   1 2 . e - 1 2 ( u + v + w )

Resposta

f U , V , W   ( u , v , w )   =   1 2 . e - 1 2 ( u + v + w )