Seis máquinas diferentes estão sendo consideradas

para uso na fabricação de selos de borracha. As máquinas estão sendo comparadas em relação à resistência à

tensão do produto. Uma amostra aleatória de quatro

selos de cada máquina é utilizada para determinar se a

resistência da tensão varia de máquina para máquina. A

seguir, temos as medidas das resistências à tensão, em

quilogramas por centímetro quadrado X 10 -1 Faça uma análise de variância, no nível de significância de 0,05, e indique se as resistências à tensão diferem

significativamente ou não entre as seis máquinas.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De uma forma de classificação, existem k tratamentos e tamanho das amostras n . O modelo matemático linear para a classificação unidirecional é

y i j = μ + α i + ϵ i j   i = 1,2 , … . . , k ; j = 1,2 , … . . , n → ( 1 )

Aplicamos 1 n ∑ j = 1 n   toda a equação (1)

y i j = μ + α i + ϵ i j i = 1,2 , … . , k ; j = 1,2 , … … , n → ( 1 )   ⇒ 1 n ∑ j = 1 n     y i j = 1 n ∑ j = 1 n     μ + 1 n ∑ j = 1 n     α i + 1 n ∑ j = 1 n     ϵ i j   ⇒ y ‾ i , = μ + α i + ϵ ‾ i , → ( 2 )

Aplicamos 1 k ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 n   toda a equação (1)

  ⇒ 1 n k ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     y i j = 1 n k ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     μ + 1 n k ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i + 1 n k ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j   ⇒   y ‾ n = μ + ϵ ‾ … ∵ ∑ i = 1 k     α i = 0 → ( 3 )   Dado   ϵ i j = N 0 , σ 2   ⇒ E ϵ i j = 0   e   V a r ⁡ ϵ i j = σ 2

De V a r ⁡ ϵ y j = σ 2 ,

E ϵ i j   2 - E ϵ i j 2 = σ 2   ⇒   E ϵ i j   2 = σ 2 → ( 4 )

Passo 2

Sabemos que ϵ ‾ 1 , ∼ N 0 , σ 2 n ⇒ E ϵ ‾ i . = 0 e V a r ⁡ ϵ ‾ i . = σ 2 n de V a r ⁡ ϵ ‾ i . = σ 2 n ,

E ϵ ‾ i .   2 - E ϵ ‾ i . 2 = σ 2 n   ⇒   E ϵ i .   2 = σ 2 n → ( 5 )

Sabemos que ϵ ‾ . . = N 0 , σ 2 n k ⇒ E ϵ ‾ . . = 0 e V a r ⁡ ϵ ‾ … = σ 2 n k de V a r ⁡ ϵ ‾ … = σ 2 n k , E ϵ . . - 2 - E ϵ ‾ . . 2 = σ 2 n k ⇒   E ϵ . 2 = σ 2 n k → ( 6 )

Passo 3

Exceção de S S A é

E ( S S A ) = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     y ‾ i - y ‾ . 2   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     μ + α i + ϵ ‾ i . - μ - ϵ ‾ … 2     De  (2)  e  (3)    = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i + ϵ ‾ i . - ϵ ‾ ϵ 2   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i 2 + ϵ ‾ i . - ϵ ‾ . . 2 + 2 α i ϵ ‾ i . - ϵ ‾ . .   = E ∑ i = 1 k     n α i 2 + ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i . - ϵ ‾ i . 2 + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i ϵ ‾ i . - ϵ ‾ . .   = E ∑ i = 1 k     n α i   2 + ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i .   2 + ϵ ‾ i   2 - 2 ϵ ‾ i , ϵ ‾ i . + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i ϵ ‾ i - ϵ ‾ . .   = E ∑ i = 1 k     n α i   2 + E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i ,   2 + ϵ ‾ i ,   2 - 2 ϵ ‾ i , ϵ ‾ i , + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i E ϵ ‾ i , - ϵ ‾ i .   = ∑ i = 1 k     n α i 2 + E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i   2 + ∑ i = 1 k     n ϵ ‾ i   2 - 2 ϵ ‾ . . ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i . + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i E ϵ ‾ i . - E ϵ ‾ . .   = ∑ i = 1 k     n α i 2 + E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i . 2 + k n ϵ ‾ . . 2 - 2 ϵ ‾ … ∑ i = 1 k     n ϵ ‾ i . + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     α i ( 0 - 0 )     De  (5)  e  (6)    = ∑ i = 1 k     n α i 2 + E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i . 2 + k n ϵ ‾ … . 2 - 2 ∈ ‾ n k ϵ ‾   = ∑ i = 1 k     n α i 2 + E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ ‾ i . 2 - k n ϵ ‾ 2   = ∑ i = 1 k     n α i 2 + ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     E ϵ ‾ i . 2 - n k E ϵ ‾ 2   = ∑ i = 1 k     n α i 2 + ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     σ 2 n - n k σ 2 n k     De  (3)  e  (4)    = ∑ i = 1 k     n α i 2 + k σ 2 - σ 2   = ∑ i = 1 k     n α i 2 + σ 2 ( k - 1 )

Passo 4

  Ent ã o ,  E [ S S A ] = ∑ i = 1 k     n α i 2 + ( k - 1 ) σ 2   ⇒ E S S A ( k - 1 ) = 1 ( k - 1 ) ∑ i = 1 k     n α i 2 + σ 2

Se é H 0 verdadeiro e cada um é α i zero , então ∑ i = 1 k   n α i 2 = 0

⇒ E S S A ( k - 1 ) = σ 2

Portanto, s 1 2 = S S A ( k - 1 ) é estimativa não baizada de σ 2

Resposta

Resposta nos passos.