Seja

f x , y = x + y       0 < x < 1 ,   0 < y < 1

e

f x , y = 0         c a s o   c o n t r á r i o

(a) X   e   Y são independentes?

(b) Determine a função densidade de X .

(c) Determine P X + Y < 1

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Para descobrirmos se X   e   Y são independentes, temos que verificar se:

f x , y = f x f ( y )

Vamos começar calculando f ( x ) :

f x = ∫ 0 1 x + y d y

f x = x y + y 2 2 0 1 = x + 1 2

Agora vamos calcular f y :

f y = ∫ 0 1 x + y d x

f y = x 2 2 + x y 0 1 = 1 2 + y

Verificando:

f x f y = x + 1 2 y + 1 2 = x y + x + y 2 + 1 4

Logo, como podemos ver,

f x , y ≠ f x f ( y )

Então não são independentes.

Passo 2

Beleza, agora vamos para a letra (b). Aqui, ele pede para acharmos a função densidade de X . E adivinhe só, nós já fizemos isso no Passo 1:

f x = ∫ 0 1 x + y d y

f x = x y + y 2 2 0 1 = x + 1 2

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (c). Vamos calcular P X + Y < 1 :

P X + Y < 1 = ∬ x + y < 1 f x , y d x d y

P X + Y < 1 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y x + y d x d y

Integrando em relação a x e aplicando os limites de integração:

P X + Y < 1 = ∫ 0 1 x 2 + x y 0 1 - y d y

P X + Y < 1 = ∫ 0 1 1 - y 2 2 + ( y - y ² ) d y

Integrando em relação a y e aplicando os limites de integração:

P X + Y < 1 = - 1 - y 3 6 + y 2 2 - y 3 3 0 1

P X + Y < 1 = 1 3

Resposta

a )   N ã o   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

b )   x + 1 2

c ) 1 3