Seja

f x , y = 24 x y       0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x + y ≤ 1

e

f x , y = 0         c a s o   c o n t r á r i o

(a) Mostre que f(x, y) é uma função densidade de probabilidade conjunta

(b) Determine E(X)

(c) Determine E(Y)

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Vamos mostrar que f ( x , y ) é uma função densidade de probabilidade conjunta. Para isso:

∬ f ( x , y ) = ∬ 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x + y ≤ 1 24 x y d x d y

∬ f ( x , y ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 24 x y d x d y

Integrando em relação a x e aplicando os limites de integração:

∬ f ( x , y ) = ∫ 0 1 12 y ( x 2 ) 0 1 - y d y

∬ f ( x , y ) = 12 ∫ 0 1 y - 2 y 2 + y ³ d y

Integrando em relação a y e aplicando os limites de integração:

∬ f ( x , y ) = 12 y 2 2 - 2 y 3 3 + y 4 4 0 1

∬ f ( x , y ) = 12 1 2 - 2 3 + 1 4 = 1

Show, mostramos que é uma função de densidade de probabilidade conjunta.

Passo 2

Beleza, agora vamos para a letra (b). Vamos achar f x para depois calcularmos E ( X ) :

f x = ∫ 0 1 - x f x , y d y = ∫ 0 1 - x 24 x y d y

f x = 12 x y ² 0 1 - x = 12 x 3 - 2 x 2 + x

Agora vamos achar E ( X ) :

E X = ∫ 0 1 x f x d x

E X = ∫ 0 1 x 12 x 3 - 2 x 2 + x d x = 12 ∫ 0 1 x 4 - 2 x 3 + x ² d x

E X = 12 x 5 5 - 2 x 4 4 + x 3 3 0 1 = 12 1 5 - 2 4 + 1 3

E X = 2 5

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (c). Vamos achar f y para depois calcularmos E ( Y ) :

f y = ∫ 0 1 - y f x , y d x = ∫ 0 1 - y 24 x y d x

f y = 12 y x ² 0 1 - y = 12 y 3 - 2 y 2 + y

Agora vamos achar E ( Y ) :

E Y = ∫ 0 1 y f y d x

E Y = ∫ 0 1 y 12 y 3 - 2 y 2 + y d y = 12 ∫ 0 1 y 4 - 2 y 3 + y ² d x

E Y = 12 y 5 5 - 2 y 4 4 + y ³ 3 0 1 = 12 1 5 - 2 4 + 1 3

E Y = 2 5

Resposta

a )   D e s e n v o l v i m e n t o

b )   E X = 2 5

c )   E Y = 2 5