Seja f(x) a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória normal com média μ e variância σ 2 . Mostre que μ - σ e μ + σ são pontos de inflexão dessa função. Isto é, mostre que f ' ' x = 0 quando x = μ - σ ou x = μ + σ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos iniciar considerando que X   ~   N ( μ , σ 2 ) . A função de densidade é dada por

f x = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2

A primeira derivada é igual a

f ' x = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2 ∙ - x - μ σ 2

Com isso, nós temos que

f ' x = f x ∙ - x - μ σ 2

Passo 2

A segunda derivada é igual a

f ' ' x = f ' x ∙ - x - μ σ 2 + f x ∙ ( - 1 )

Que é igual a

f ' ' x = f x ∙ - x - μ σ 2 2 - f x

A segunda derivada é igual a zero se e somente se - x - μ σ 2 2 = 1 , e isto é verdadeiro nas seguintes condições

x - μ σ = 1   o u   x - μ σ = - 1  

O que somente acontece quando x = μ + σ ou x = μ - σ , então nós conseguimos provar o que foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)