Seja α um número entre 0 e 1 e defina a seqüência W 1 , W 2 , W 3 , … por W 0 = μ e W t = α X ‾ t + ( 1 - α ) W t - 1 para t = 1,2 , … . Substituindo por W t - 1 sua representação em termos de X ‾ t - 1 e W t - 2 então substituindo por W t - 2 e assim por diante, resulta em

W t = α X ‾ t + α ( 1 - α ) X ‾ t - 1 + ⋯   + α ( 1 - α ) t - 1 X ‾ 1 + ( 1 - α ) ' μ

O fato de que W t depende não apenas de X ‾ t mas também das médias de pontos anteriores de tempo, apesar de que com decréscimos de peso (exponencialmente), sugere que mudanças na média do processo serão mais rapidamente refletidas nos W t s do que nos X ‾ r s individuais.

a. Mostre que E W ı = μ .b. Considere σ l 2 = V W r , e mostre que

σ f 2 = α 1 - ( 1 - α ) 2 2 - α ⋅ σ 2 n

c. Um gráfico de controle de média móvel ponderada exponencialmente marca os W s s e utiliza limites de controle μ 0 ± 3 σ i (ou x ‾ - no lugar de μ 0 ). Construa um gráfico para os dados do Exemplo 16.9 utilizando μ 0 = 40 .

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

a. Mostre que E W ı = μ .

a. Dado o E X ‾ i = μ para cada i,

E W t = α E X ‾ t + α ( 1 - α ) E X ‾ t - 1 + … + α ( 1 - α ) t - 1 E X ‾ 1 + ( 1 - α ) t μ = μ α + α ( 1 - α ) + … + α ( 1 - α ) t - 1 + ( 1 - α ) t = μ α 1 + ( 1 - α ) + … + ( 1 - α ) t - 1 + ( 1 - α ) t = μ α ∑ i = 0 ∞   ( 1 - α ) i - α ∑ i = t ∞   ( 1 - α ) i + ( 1 - α ) t = μ α 1 - ( 1 - α ) - α ( 1 - α ) t ⋅ 1 1 - ( 1 - α ) + ( 1 - α ) t = μ

Passo 2

Considere σ l 2 = V W r , e mostre que

σ f 2 = α 1 - ( 1 - α ) 2 2 - α ⋅ σ 2 n

b. V W t = α 2 V X ‾ t + α 2 ( 1 - α ) 2 V X ‾ t - 1 + … + α 2 ( 1 - α ) 2 ( t - 1 ) V X ‾ 1 = α 2 1 + ( 1 - α ) 2 + … + ( 1 - α ) 2 ( t - 1 ) ⋅ V X ‾ 1

= α 2 1 + C + … + C t - 1 ⋅ σ 2 n . Em que C = ( 1 - α ) 2 . = α 2 1 - C t 1 - C ⋅ σ 2 n , que dá a expressão desejada.

Passo 3

Um gráfico de controle de média móvel ponderada exponencialmente marca os W s s e utiliza limites de controle μ 0 ± 3 σ i (ou x ‾ - no lugar de μ 0 ). Construa um gráfico para os dados do Exemplo 16.9 utilizando μ 0 = 40 .

c. Do Exemplo 16.8, σ = . 5 (ou s ‾ pode ser usado). Suponha que usamos α=.6 (não especificado no problema). Então

w 0 = μ 0 = 40 w 1 = . 6 x ‾ 1 + . 4 μ 0 = . 6 ( 40.20 ) + . 4 ( 40 ) = 40.12 w 2 = . 6 x ‾ 2 + . 4 w 1 = . 6 ( 39.72 ) + . 4 ( 40.12 ) = 39.88 w 3 = . 6 x ‾ 3 + . 4 w 2 = . 6 ( 40.42 ) + . 4 ( 39.88 ) = 40.20 w 4 = 40.07 , w 5 = 40.06 , w 6 = 39.88 , w 7 = 39.74 , w 8 = 40.14 , w 9 = 40.25 , w 10 = 40.00 , w 11 = 40.29 , w 12 = 40.36 , w 13 = 40.51 , w 14 = 40.19 , w 15 = 40.21 , w 16 = 40.29 σ 1 2 = . 6 1 - ( 1 - . 6 ) 2 2 - . 6 ⋅ . 25 4 = . 0225 , σ 1 = . 1500 , σ 2 2 = . 6 1 - ( 1 - . 6 ) 4 2 - . 6 ⋅ . 25 4 = . 0261 , σ 2 = . 1616 , σ 3 = . 1633 , σ 4 = . 1636 , σ 5 = . 1637 = σ 6 … σ 16

O controle de limites

Para t = 1,40 ± 3 ( . 1500 ) = 39.55,40.45 Para t = 2,40 ± 3 ( . 1616 ) = 39.52,40.48 Para t = 3,40 ± 3 ( . 1633 ) = 39.51,40.49 .Estes últimos limites são também os limites para t = 4 , … , 16 .

Porque   w 13 = 40.51 > 40.49 = U C L , um sinal fora de controle é gerado.

Resposta

a. μ

b. α 2 1 - C t 1 - C ⋅ σ 2 n , que dá a expressão desejada.

c. w 13 = 40.51 > 40.49 = U C L , um sinal fora de controle é gerado.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !