Enunciado

Seja r = r 1 + … + r k ,onde todos os r i são inteiros positivos. Mostre que, se X 1 , … , X r   tem distribuição multinomial, então Y 1 , … , Y r   também a tem, onde, com r 0 = 0 ,

Y i = ∑ j = r i - 1 + 1 r i - 1 + r i X j ,     i ≤ k

Isto é, Y 1 é a soma do primeiro r 1 dos X’s, Y 2 é a soma do r 2 seguinte, e assim por diante.

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

De acordo com o problema podemos ver que as variáveis aleatórias multinominais X i ,   i = ,.....,r, são equivalentes aos números de cada um dos tipos de resultados 1,...,r que ocorrem em n tentativas independentes.

Considerando que cada tentativa leva a um desses resultados com respectivas probabilidades   p 1 , … . , p r . Digamos que uma tentativa leve a um resultado do tipo 1 se ela tiver levado a qualquer um dos resultados tipo 1 , … . , r 1 . Se a tentativa levar a um resultado do tipo 2, está levará a qualquer um dos resultados tipo r 1 + 1 , … . . , r 1 + r 2 e assim por diante.

Levando em conta estes pontos, Y 1 , … . , Y k , representam os números de resultados dos tipos 1,2,....,k quando n tentativas independentes que resultam cada uma delas em um dos tipos 1,...,k com as respectivas probabilidades ∑ j = r i - 1 + 1 r i - 1 + r i p j ,   i = 1 , … . , k , são realizadas.

Porém, levando em conta a definição o vetor possui distribuição multinominal.

E agora, bora para o próximo =)

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