Seja o par (X, Y) uniformemente distribuído no círculo de raio 1 centrado na origem. Sua densidade conjunta é portanto:

f x , y = 1 π     0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1

Suponha que R   =   x 2   +   y 2 1 / 2   e   θ = t g - 1 ( Y / X ) representem as coordenadas polares de (X, Y). Mostre que R e θ são independentes, com   R 2 uniforme em (0, 1) e θ uniforme em ( 0 ,   2 π ) .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Considere a transformação g :   C → 0,1 × ( 0,2 π ) , onde C é um círculo unitário. A transformação g é definida por:

g ( x ,   y ) = ( r 2 ,   θ ) = x 2 + y 2 ,   t a n - 1 y x

Estamos interessados ​​na distribuição do vetor aleatório ( R 2 ,   Θ ) = g ( X ,   Y ) . Usando o teorema sobre a densidade de transformação do vetor aleatório, temos que:

f R 2 ,   Θ r 2 ,   θ = f X ,   Y g - 1 r 2 ,   θ | d e t ∇   g ^ ( - 1 ) ( r 2 ,   θ ) |

Temos que f X ,   Y ( g - 1 r 2 ,   θ = 1 π χ g - 1 r 2 ,   θ ∈   C = 1 π   χ r 2 ,   θ ∈ 0,1 × 0,2 π

e

∣ d e t   ∇ g ( x ,   y ) | = 2 ⇒ | d e t ∇ g - 1 ( r 2 ,   θ ) | = 1 2

Assim, obtivemos que:

f R 2 , θ r 2 ,   θ = 1 2 π ⋅ χ r 2 ,   θ ∈ 0,1 × 0,2 π

Assim, vemos que R 2   e   Θ são independentes, pois sua distribuição conjunta pode ser fatorada como:

f R 2 ,   Θ r 2 ,   θ = χ R 2 ∈ 0,1 ⋅ 1 2 π χ Θ ∈ 0,2 π

e também temos o seguinte:

R 2 ∼ U n i f 0,1 ,   Θ ∼ U n i f ( 0,2 π )

Resposta

Veja solução.