Seja o par (X, Y) uniformemente distribuído no círculo de raio 1 centrado na origem. Sua densidade conjunta é portanto:
Suponha que representem as coordenadas polares de (X, Y). Mostre que R e são independentes, com uniforme em (0, 1) e uniforme em
Passo 1
Fala galeraaa!
Vamos que vamos!
Considere a transformação , onde C é um círculo unitário. A transformação g é definida por:
Estamos interessados na distribuição do vetor aleatório . Usando o teorema sobre a densidade de transformação do vetor aleatório, temos que:
Temos que
e
Assim, obtivemos que:
Assim, vemos que são independentes, pois sua distribuição conjunta pode ser fatorada como:
e também temos o seguinte:
Resposta
Veja solução.