Seja α a probabilidade de que uma variável aleatória X com parâmetro p seja um número par.

(a)Determine a usando a identidade α = ∑ i = 1 ∞ P { X = 2 i }

(b) Determine α condicionando entre X = 1 ou X > 1 .

Passo 1

Fala galeraa, tudo blz?? Vamos pra mais uma.

Se usarmos inicialmente o evento complementar de p : q = 1 - p

P E = ∑ i = 1 ∞ P ( X = 2 i )

P E = ∑ i = 1 ∞ p q 2 i - 1 = p q ∑ 1 ∞ q 2 i - 1 = p q 1 1 - q 2 = p q ( 1 - q ) ( 1 + q ) = q 1 + q

Passo 2

Mas também devemos escrever que:

P E = P E X = 1 ⋅ p + P E X > 1 ⋅ q = q P ( E | X > 1 )

Dado que a primeira tentativa não é um sucesso, o número de tentativas necessárias para que ocorra um sucesso é 1 mais o número geometricamente distribuído de tentativas adicionais necessárias. Portanto,

P E   |   X > 1 = P X + 1   é   p a r = P E C = 1 - P ( E )

Daí.

P E = q 1 + q

Resposta

α = q 1 + q