Seja X 1 ,   X 2 , , . . . uma sequência de variáveis aleatórias contínuas independentes e identicamente distribuídas. Considere N ≥ 2 tal que

X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥ X N - 1   < X N

Isto é, N é o ponto no qual a sequência para de decrescer. Mostre que E [ N ] = e .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Seja X 1 ,   X 2 ,   … uma sequência de variáveis ​​aleatórias contínuas independentes e identicamente distribuídas.

Mostre que E [ N ] = e

Seja N ≥ 2   t a l   q u e   X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥   X N - 1 < X N

P ( X 1 ≥   X 2 ≥ … ≥ X N - 1 < X N )

= P ( X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥   X N - 1 )   P ( X N > X N - 1 ∣ X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥ X N - 1 )

Conhecemos X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥ X N - 1     p o r q u e   ( N - 1 ) !

temos P ( X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥ X N - 1 ) = 1 N - 1 !

P ( X N > X N - 1 ∣ X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥ X N - 1 ) = 1 - 1 N = N - 1 N

P X 1 ≥ X 2 ≥ … ≥   X N - 1 < X n = 1 - 1 N - 1 ! N - 1 N = 1 N - 2 ! N  

E N = ∑ N = 2 ∞ N 1 N - 2 ! N = ∑ N = 2 ∞   1 N - 2 ! = ∑ N = 0 ∞ 1 N ! = e .

Portanto, E [ N ] = e .

Resposta

V e j a   s o l u ç ã o .