Seja X 1 , X 2 , … uma sequência de variáveis aleatórias independentes com função de probabilidade

P X n = 0 = P X n = 2 = 1 2 ,     n ≥ 1

Diz-se que a variável aleatória X =   ∑ n = 1 ∞ X n 3 n tem distribuição de Cantor. Determine E [ X ] e V a r ( X ) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar X 1 , X 2 , … ser uma sequência de variáveis aleatórias independentes com a PDF, nós temos que

P X n = 0 = P X n = 2 = 1 2 ,     n ≥ 1

Com isso, nós temos que a esperança é igual a

E X = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n E [ X n ]

Substituindo os valores, nós obtemos

E X n = 2 ∙ 1 2 + 0 ∙ 1 2 = 1

Logo,

E X = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 2

Passo 2

A variância nesse caso é dada por

V a r X = ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n V a r X n

E a variância de um termo qualquer X n é dada por

V a r X n = E X n 2 - E X n 2

Substituindo os valores, nós temos que

V a r X n = 0 ∙ 1 2 + 4 ∙ 1 2 - 1 = 1

Com isso,

V a r X = ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n = 1 8

Resposta

E X = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 2

V a r X = ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n = 1 8