Seja U 1 ,   U 2 , ... uma sequência de variáveis aleatórias uniformes no intervalo (0, 1). No Exemplo 5i, mostramos que, para 0 ≤ x ≤ 1 ,       E N x =   e x , onde:

N x = m í n   n :   ∑ i = 1 n U 1 > x

O presente problema fornece uma outra abordagem para se obter esse resultado.

(a) Mostre por indução em n que, para 0 ≤ x ≤ 1 e para todo n ≥ 0 ,

P N x ≥ n + 1 =   x n n !

Dica: Primeiro condicione em U 1 , e depois use a hipótese de indução. Use a letra (a) para concluir que E N x =   e x

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Seja U 1 ,   U 2 ,   U 3 ,   . . . uma sequência de variáveis aleatórias independentes em (0,1).

Para n = 0, temos que:

P { N ( x ) ≥ n }   =   x n ( n - 1 ) !

Para n > 0, temos que:

P { N ( x ) ≥ n + 1 }   =   ∫ 0 1 P { N ( x ) ≥ n + 1 | U 1 = y } d y  

∫ 0 x P { N ( x - y ) ≥ n } d y para tal vamos adotar u = x - y

∫ 0 x P { N ( u ) ≥ n } d u =   ∫ 0 x u n - 1 ( n - 1 ) ! d u   =   x n n !

Passo 2

Vamos calcular agora o valor esperado para N(x). Temos que:

E ( N ( x ) )   =   ∑ n = 0 ∞ P { N ( x ) ≥ n }   =   ∑ n = 0 ∞ P { N ( x ) ≥ n + 1 }   =   ∑ n = 0 ∞ x n n !

Desenvolvendo tal somatório, temos que:

∑ n = 0 ∞ x n n !   = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! +   . . .   =   1   +   x   +   x 2 2 + x 3 6   +   . . .

Esse somatório é convergente e converge para e x . Logo,

E ( N ( x ) )   =   e x

Resposta

a)   P N x ≥ n + 1 =   x n n !

b) E ( N ( x ) )   =   e x