Seja X uma variável aleatória que assuma valores entre 0 e c. Isto é, P 0 ≤ X ≤ c = 1 . Mostre que

V a r X ≤ c 2 4

Dica: Uma possível abordagem é mostrar primeiro que

E X 2 ≤ c E X

e depois usar esta desigualdade para mostrar que

V a r X ≤ c 2 α 1 - α ,     o n d e   α = E X c

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nos é dado que a variável aleatória X "vive" apenas no intervalo [ 0 , c ] . Em primeiro lugar,

observe aquilo

E X 2 = ∫ 0 c x 2 f x   d x

Podemos simplificar o x , fazendo uma manipulação

E X 2 = ∫ 0 c x ∙ x f x   d x ≤ ∫ 0 c c ∙ x f x   d x

Com isso, nós temos que

E X 2 ≤ c ∫ 0 c x f x   d x = c E ( X )

Então, nós provamos que

E X 2 ≤ c E ( X )

Passo 2

Agora, temos o limite superior da variância, ou seja,

V a r X = E X 2 - E X 2

E isso é menor ou igual que

V a r X ≤ c E X - E X 2

Fazendo mais algumas manipulações, nós temos

V a r X ≤ c 2 E X c - E X 2 c 2

Para escrevê-lo com mais clareza, vamos definir α = E X c , portanto:

V a r ≤ c 2 ( α - α 2 )

Agora, já que temos aquele X ∈ [ 0 , c ] , temos aquele E X ∈ [ 0 , c ] , o que implica que

α = E X c ∈ [ 0,1 ]

Passo 3

O que exatamente é, isso depende da distribuição de X , mas sabemos que é um α

certamente entre 0 e 1. Assim, podemos fazer o limite superior da expressão α ( 1 - α ) . É uma parábola que atinge o máximo no intervalo [ 0,1 ] no ponto α = 1 2 . O valor desse máximo é 1 4 . Daí, temos que

α 1 - α ≤ 1 4

Então finalmente temos isso

V a r X ≤ c 2 α - α 2 ≤ c 2 4

Portanto, conseguimos provar o que nos foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)