Seja X uma variável aleatória que assuma valores entre 0 e c. Isto é, . Mostre que
Dica: Uma possível abordagem é mostrar primeiro que
e depois usar esta desigualdade para mostrar que
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Nos é dado que a variável aleatória "vive" apenas no intervalo . Em primeiro lugar,
observe aquilo
Podemos simplificar o , fazendo uma manipulação
Com isso, nós temos que
Então, nós provamos que
Passo 2
Agora, temos o limite superior da variância, ou seja,
E isso é menor ou igual que
Fazendo mais algumas manipulações, nós temos
Para escrevê-lo com mais clareza, vamos definir , portanto:
Agora, já que temos aquele , temos aquele , o que implica que
Passo 3
O que exatamente é, isso depende da distribuição de , mas sabemos que é um
certamente entre 0 e 1. Assim, podemos fazer o limite superior da expressão . É uma parábola que atinge o máximo no intervalo no ponto . O valor desse máximo é . Daí, temos que
Então finalmente temos isso
Portanto, conseguimos provar o que nos foi pedido.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)