Seja Z uma variável aleatória normal e, para um x fixo, considere

Z   s e   Z > x 0   c a s o   c o n t r á r i o

Mostre que E X = 1 2 π e - x 2 2 .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Observe que X pode ser escrito como X = Z ⋅   I Z > x . Então, a média de X é de:

E X = ∫ z > x z ⋅   d P Z = ∫ z > x z f Z z d z = ∫ x ∞ z 1 2 π   e z 2 2 d z

Vamos resolver esta integral usando a substituição u = z 2 2 que implica d u = z d z . Portanto, a integral acima é igual a:

1 2 π ∫ z 2 2 ∞ e - u d u = 1 2 π e - x 2 2

Então, provamos que:

E ( X ) = 1 2 π e - z 2 2

Resposta

Calcule a média de X usando a definição de X e a de Z.