Seja uma variável aleatória normal padrão e X uma variável aleatória normal padrão com média p e variância 1. Queremos determinar . Para fazer isso, suponha que Z seja uma variável aleatória normal padrão independente de X e considere
a) Mostre que ] ).
b) Mostre que .
c) Mostre que .
Passo 1
Fala galeraaa!
Vamos que vamos!
No item (a), temos:
Usando a definição de , temos que:
No item (b), temos:
Usando a parte de (a), vemos que:
Aplicando a expectativa aos dois lados e usando a lei da expectativa total, temos que:
Reescreva e temos:
No item (c), temos:
Usando a parte (b), temos que:
Como Z e X são normais independentes, temos que:
que implica:
então provamos o alegado.
Resposta
Use a lei da expectativa total para obter o requerido.