Seja ϕ uma variável aleatória normal padrão e X uma variável aleatória normal padrão com média p e variância 1. Queremos determinar E [ ϕ ( X ) ] . Para fazer isso, suponha que Z seja uma variável aleatória normal padrão independente de X e considere

a) Mostre que E [ I ∣ X   =   x ] = ϕ ( x ).

b) Mostre que E [ ϕ ( X ) ]   =   P ( Z <   X ] .

c) Mostre que E [ ϕ ( X ) ] = ϕ ( μ 2 ) .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

No item (a), temos:

Usando a definição de I , temos que:

E ( I ∣ X = x ) = P ( I = 1 ∣ X = x ) = P ( Z < X ∣ X = x ) = P ( Z < x ) = Φ ( x )

No item (b), temos:

Usando a parte de (a), vemos que:

E ( I ∣ X ) = Φ ( X )

Aplicando a expectativa aos dois lados e usando a lei da expectativa total, temos que:

E ( I ) = E ( E ( I ∣ X ) ) = E ( Φ ( X ) )

Reescreva E ( I ) = P ( I = 1 ) = P ( Z < X ) e temos:

P ( Z < X ) = E ( Φ ( X ) )

No item (c), temos:

Usando a parte (b), temos que:

E ( Φ ( X ) ) = P ( Z < X ) = P ( Z - X < 0 )

Como Z e X são normais independentes, temos que:

Z - X ∼   N ( - μ ,   2 )

que implica:

P ( Z - X < 0 ) = P Z - X + μ 2 < μ 2 = Φ μ 2

então provamos o alegado.

Resposta

Use a lei da expectativa total para obter o requerido.