Seja X uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ) . Calcule E [ X n ] usando a Proposição 2.1 e depois verifique o resultado usando a definição de esperança.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar uma variável aleatória uniforme X no intervalo ( 0,1 ) , nós vamos encontrar E [ X n ] usando a definição de esperança e a proposição 2.1.

Como X é uma V.A uniforme em um intervalo definido, podemos assumir a seguinte proposição para a densidade:

f X x = 1 ,     x ∈ ( 0,1 ) 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Voltando um pouquinho, e indo na proposição 2.1, nós temos

E X n =   ∫ - ∞ ∞ x n f x   d x = ∫ 0 1 x n 1   d x =   x n + 1 n + 1 0 1 = 1 n + 1

Agora, vamos calcular pela definição de esperança

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável Y para X n , calcular a esperança de Y , e finalmente comparar. A primeira coisa que vamos fazer é determinar a densidade de Y , como temos um intervalo de 0 a 1, traduzindo

x ∈ 0,1 → y = x n ∈ ( 0,1 )

Com essas informações, podemos partir para a função cumulativa da distribuição, então

F Y y = P Y ≤ y = P [ X n ≤ y ]

Vamos pensar um pouco, nós queremos manipular para que o termo X fique com sua potência unitária, ou seja, X 1 , logo qual o valor de y para que isso aconteça? Isso mesmo! y 1 n , com isso, nós temos

F Y y = P X ≤ y 1 n

Substituindo a probabilidade pela integral, temos

F Y y = ∫ 0 y 1 n 1 ∙ d x = y 1 n

Portanto, a densidade de Y é dada por

f Y y = d d x F Y y = d d x y 1 n = 1 n y 1 n - 1 ;     y ∈ ( 0,1 )

Passo 3

Agora, nós já sabemos a densidade de Y , partindo para a definição de esperança, nós temos que

E X n = E [ Y ]

Com isso

E Y =   ∫ 0 1 y f y   d y =   ∫ 0 1 y 1 n y 1 n - 1   d y

Jogando o que é constante para o lado de fora da integral, nós temos

E Y = 1 n ∫ 0 1 y 1 n   d y = 1 n y 1 n + 1 1 n + 1 0 1

Com isso, chegamos ao seguinte resultado

E Y = 1 n n n + 1 = 1 n + 1

Portanto,

E X n = 1 n + 1

Resposta

E X n = 1 n + 1