Seja X uma variável aleatória uniforme no intervalo . Calcule usando a Proposição 2.1 e depois verifique o resultado usando a definição de esperança.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos considerar uma variável aleatória uniforme no intervalo , nós vamos encontrar usando a definição de esperança e a proposição 2.1.
Como é uma V.A uniforme em um intervalo definido, podemos assumir a seguinte proposição para a densidade:
Voltando um pouquinho, e indo na proposição 2.1, nós temos
Agora, vamos calcular pela definição de esperança
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para , calcular a esperança de , e finalmente comparar. A primeira coisa que vamos fazer é determinar a densidade de , como temos um intervalo de 0 a 1, traduzindo
Com essas informações, podemos partir para a função cumulativa da distribuição, então
Vamos pensar um pouco, nós queremos manipular para que o termo fique com sua potência unitária, ou seja, , logo qual o valor de y para que isso aconteça? Isso mesmo! , com isso, nós temos
Substituindo a probabilidade pela integral, temos
Portanto, a densidade de é dada por
Passo 3
Agora, nós já sabemos a densidade de , partindo para a definição de esperança, nós temos que
Com isso
Jogando o que é constante para o lado de fora da integral, nós temos
Com isso, chegamos ao seguinte resultado
Portanto,