Sejam X 1 ≤ X 2 ≤ … ≤ X n os valores ordenados de n variáveis aleatórias independentes no intervalo (0,1). Demonstre que, para 1 ≤ k ≤ n + 1 ,

P X k - X k - 1 > t = ( 1 - t ) n

Onde X 0 ≣ 0 , X n + 1 ≣ t

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para começar, vamos usar aqui k = 2 :

P X 2 - X 2 - 1 > t →   0 ≤ X 2 - X 1 ≤ 1

P X 2 - X 1 > t = 1 - t

Vamos usar aqui k = 3 :

P X 3 - X 3 - 1 > t →   0 ≤ X 3 - X 2 ≤ 1

P X 3 - X 2 ≤ t = 1 - t

Seguindo a mesma ideia, vamos fazer agora k = n + 1 :

P X n + 1 - X n + 1 - 1 > t →   0 ≤ X n + 1 - X n ≤ 1

P X n + 1 - X n ≤ t = 1 - t

Show!

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o