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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios Teóricos - Ex. 9

Sejam X 1 , … , X n variáveis aleatórias exponenciais independentes com parâmetro comum λ . Determine a distribuição de min ⁡ ( X 1 , … , X n ) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Questão direta, primeiro vamos definir uma variável aleatória Z, do tipo

Z = min ⁡ X 1 , X 2 , … ,   X n

Como X i > 0 , nós temos que Z > 0 , agora vamos fazer o seguinte: pegando qualquer z > 0 , nós temos que

P Z ≤ z = 1 - P Z > z = 1 - P X 1 > z , … ,   X n > z

Com isso, podemos fazer a seguinte manipulação

P Z ≤ z = 1 - ∏ i = 1 n P X i > z = 1 - P X 1 > z n

E temos que

P Z ≤ z = 1 - e - n λ z

Então, podemos ver que Z   ~ exp ⁡ n λ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)