Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes contínuas com respectivas funções taxa de risco λ X t e λ Y t , e estabeleça W = min ⁡ X , Y

A - Determine a função distribuição de W em termos daquelas de X e Y.

B – Mostre que λ W ( t ) , a função taxa de risco de W, é dada por

λ W t = λ X t + λ Y t

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Nós temos que W > t se e somente X > t   e Y > t , portanto:

P W ≤ t = 1 - P ( W > t )

Com isso,

P W ≤ t = 1 - P X > t , Y > t = 1 - P ( X > t ) P ( Y > t )

Fazendo o complementar para as probabilidades envolvidas na multiplicação, nós temos que

P W ≤ t = 1 - 1 - P X ≤ t 1 - P Y ≤ t

O que implica em

F W t = 1 - 1 - F X t 1 - F Y t

Passo 2

B – Usando a definição da função de taxa de risco, nós temos que

λ W t = f W t 1 - F W ( t )

Observe que 1 - F W t = P W > t = P X > t P ( Y > t ) , que consequentemente é igual a

1 - F W t = 1 - F X t 1 - F Y t

Usando a derivada para encontrar f W ( t ) ,

f W t = d d t F W t = f X t 1 - F X t + 1 - F X t f Y t  

O que significa

f W t 1 - F W t = f X t 1 - F X t + 1 - F X t f Y t   1 - F X t 1 - F Y t

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

f W t 1 - F W t = f X t 1 - F X t + f Y t 1 - F Y t

O que é exatamente

f W t 1 - F W t = λ X t + λ Y ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)