Sejam , ,..., , variáveis aleatórias independentes com função distribuição contínua desconhecida F, e , ,..., , variáveis aleatórias independentes com função distribuição contínua desconhecida G. Agora ordene essas n + m variáveis e considere
A variável aleatória ; é a soma i=l das ordens da amostra X e é a base de um procedimento estatístico (chamado de teste da soma das ordens de Wilcoxon) empregado para testar se F e G são distribuições idênticas. Esse teste aceita a hipótese de F = G quando R não é nem muito grande, nem muito pequeno. Supondo que a hipótese de igualdade seja de fato correta, calcule a média e a variância de R.
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Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Para esse problema nos é dado que a hipótese de que todas as variáveis são igualmente prováveis, ou seja, F = G. Assim, podemos identificar essas n+m variáveis como igualmente prováveis também.
Para compreender melhor, vamos usar a seguinte analogia:
Vamos supor que , ,..., representam bolas especiais, e , ,..., representam bolas comuns. Nós estamos interessados numa variável aleatória dada por:
Que representa a soma do número de ordem de sorteio que bolas especiais são obtidas. Sabemos que existem m bolas comuns, vamos dizer que A é o evento onde a i-ésima (0
Y = k + X
Logo,
Onde pode ser definida como:
Sendo que n+1 indica o total de bolas comuns e especiais retiradas antes de k bolas especiais que serão retiradas serem retiradas. E vale lembrar que todas as bolas tem a mesma probabilidade de sair, logo esse somatório de probabilidades pode ser multiplicado por m. Assim:
(I)
Usando a igualdade e um pouco de álgebra chegaremos a:
(II)
Usaremos esses resultados I e II para definir a média e variância da nossa variável R.
Passo 2
Assim para nossa variável R, teremos que:
Pelo resultado da equação (I),
e pelo resultado da equação (II),
Logo, obtivemos as expressões para média e variância de R em função de n e m.
Resposta
A média e variância de R são, respectivamente: