Sejam X 1 , X 2 ,..., X n , variáveis aleatórias independentes com função distribuição contínua desconhecida F, e Y 1 , Y 2 ,..., Y m , variáveis aleatórias independentes com função distribuição contínua desconhecida G. Agora ordene essas n + m variáveis e considere

I i = { 1   s e   a   i - é s i m a   m e n o r   d a s   n + m   v a r i á v e i s   p e r t e n c e   à   a m o s t r a   X   0   c a s o   c o n t r á r i o  

A variável aleatória R =   ∑ i = 1 n + m i I i   ; é a soma i=l das ordens da amostra X e é a base de um procedimento estatístico (chamado de teste da soma das ordens de Wilcoxon) empregado para testar se F e G são distribuições idênticas. Esse teste aceita a hipótese de F = G quando R não é nem muito grande, nem muito pequeno. Supondo que a hipótese de igualdade seja de fato correta, calcule a média e a variância de R.

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Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Para esse problema nos é dado que a hipótese de que todas as variáveis ​​são igualmente prováveis, ou seja, F = G. Assim, podemos identificar essas n+m variáveis ​​como igualmente prováveis também.

Para compreender melhor, vamos usar a seguinte analogia:

Vamos supor que X 1 , X 2 ,..., X n representam bolas especiais, e Y 1 , Y 2 ,..., Y m representam bolas comuns. Nós estamos interessados numa variável aleatória dada por:

R =   ∑ i = 1 n + m i I i

Que representa a soma do número de ordem de sorteio que bolas especiais são obtidas. Sabemos que existem m bolas comuns, vamos dizer que A é o evento onde a i-ésima (0 A i ocorridos, temos que X fornece o número de bolas comuns retiradas antes da retirada de um total de k bolas especiais. Como consequência disso temos que:

Y = k + X

Logo,

E Y = k + E X =     k +   ∑ i = 1 m P ( A i )

Onde P ( A i ) pode ser definida como:

P A i = k n + 1

Sendo que n+1 indica o total de bolas comuns e especiais retiradas antes de k bolas especiais que serão retiradas serem retiradas. E vale lembrar que todas as bolas tem a mesma probabilidade de sair, logo esse somatório de probabilidades pode ser multiplicado por m. Assim:

E Y =   k +   m . k n + 1 = k n + 1 + m n + 1 (I)

Usando a igualdade V a r Y = V a r [ X ] e um pouco de álgebra chegaremos a:

V a r Y = m . k . ( n + 1 - k ) ( n + 1 + m ) ( n + 1 ) ² ( n + 2 ) (II)

Usaremos esses resultados I e II para definir a média e variância da nossa variável R.

Passo 2

Assim para nossa variável R, teremos que:

Pelo resultado da equação (I),

E R = ∑ i = 1 n + m E [ I i ] =   ∑ i = 1 n + m i . n + 1 + m n + 1 =   ( n + m ) ( n + m + 1 ) 2 . n + 1 + m n + 1

e pelo resultado da equação (II),

V a r R = ∑ i = 1 n + m V a r [ I i ] =   ∑ i = 1 n + m m . i . ( n + 1 - i ) ( n + 1 + m ) ( n + 1 ) ² ( n + 2 )

Logo, obtivemos as expressões para média e variância de R em função de n e m.

Resposta

A média e variância de R são, respectivamente:

E R =   ( n + m ) ( n + m + 1 ) 2 . n + 1 + m n + 1

V a r R = ∑ i = 1 n + m m . i . ( n + 1 - i ) ( n + 1 + m ) ( n + 1 ) ² ( n + 2 )