Sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Dizemos que um valor recorde ocorre no instante , se para todo . Mostre que
A – E[número de valores recordes]= ;
B – Var[número de valores recordes] =
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Primeiramente, vamos definir variáveis aleatórias indicadoras que marcam a j-ésimo se a variável aleatória fez um novo recorde. Observe que
Porque todas as variáveis são igualmente distribuídas. Definindo como o número de
valores de registro. Nós temos que
Dado essa introdução, vamos resolver as questões
Passo 2
A - Usando a linearidade da expectativa, temos que
Com isso, nós temos que (substituindo os valores)
Logo, conseguimos provar o que nos foi pedido
Passo 3
B – Nós temos que
Desde que é uma V.A de Bernoulli, nós temos que
E por isso, nós obtemos o mesmo resultado
Agora vamos manipular a esperança da multiplicação, veja, podemos considerar a esperança como a probabilidade sendo igual a 1
Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que
Usando a propriedade, nós chegamos a seguinte conclusão
Então, isso implica em
Portanto,
Provamos o que nos foi pedido 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)