Sejam X 1 , … , X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Dizemos que um valor recorde ocorre no instante i , j ≤ n , se X j ≥ X i para todo 1 ≤ i ≤ j . Mostre que

A – E[número de valores recordes]= ∑ j = 1 n 1 / j ;

B – Var[número de valores recordes] = ∑ j = 1 n j - 1 j 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos definir variáveis ​​aleatórias I j indicadoras que marcam a j-ésimo se a variável aleatória X j fez um novo recorde. Observe que

P I j = 1 = P X j = max i = 1 , … ,  j ⁡ X i = 1 j

Porque todas as variáveis X j ​​são igualmente distribuídas. Definindo X como o número de

valores de registro. Nós temos que X = ∑ j I j

Dado essa introdução, vamos resolver as questões

Passo 2

A - Usando a linearidade da expectativa, temos que

E X = ∑ j E I j

Com isso, nós temos que (substituindo os valores)

E X = ∑ J P I j = 1 =   ∑ j 1 j

Logo, conseguimos provar o que nos foi pedido

Passo 3

B – Nós temos que

V a r X = ∑ j V a r I j + 2 ∑ j < i C o v I j , I l

Desde que I j é uma V.A de Bernoulli, nós temos que

V a r I j = 1 j 1 - 1 j = j - 1 j 2

E por isso, nós obtemos o mesmo resultado

C o v I j , I l = E I j I l - E I l E ( I j )

Agora vamos manipular a esperança da multiplicação, veja, podemos considerar a esperança como a probabilidade sendo igual a 1

E I j I l = ´ P I j I l = 1

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

E I j I l = P I j = 1 ,   I l = 1

Usando a propriedade, nós chegamos a seguinte conclusão

E I j I l = P I l = 1 I j = 1 ´ I j = 1 = 1 j l

Então, isso implica em

C o v I j , I l = 1 j l - 1 j l = 0

Portanto,

V a r X =   ∑ j j - 1 j 2

Provamos o que nos foi pedido 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)