Sejam X 1 ,   … variáveis aleatórias independentes com mesma função distribuição F, e suponha que elas sejam independentes de N, uma variável aleatória geométrica com parâmetro p. Seja M = máx( X 1 , … ,   X N ).

(a) Determine P { M ≤ x } condicionando em N.

(b) Determine P { M ≤ x N = 1 }

(c) Determine P { M ≤ x N > 1 }

(d) Use (b) e (c) para deduzir novamente a probabilidade que você obteve na letra (a).

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Desejamos então, determinar P M ≤ x estando condicionado a N.

Logo,

P M ≤ x = ∑ n = 1 ∞ P M ≤ x N = n P N = n    

P M ≤ x = ∑ n = 1 ∞ F n x . p ( 1 - p ) n - 1    

P M ≤ x = p . F ( x ) 1 - 1 - p . F ( x )  

Passo 2

(b) Vamos agora determinar P M ≤ x N = 1

Basta que para expressão obtida em (a) façamos p = 1, logo:

P M ≤ x N = 1 = 1 . F ( x ) 1 - 1 - 1 . F ( x ) = F ( x ) 1 - 0 . F ( x ) = F ( x )  

(c) Agora, para determinar P M ≤ x N > 1

Temos que essa probabilidade equivale a: P M ≤ x N = 1 . P M ≤ x

Assim, com o resultado obtido em (b), temos que:

P M ≤ x N > 1 = F x . P { M ≤ x }

Passo 3

(d) Partindo do pressuposto que:

P M ≤ x =   P M ≤ x N = 1 P N = 1 + P M ≤ x N > 1 P N > 1

Aplicando os resultados obtidos em (b) e (c) para P M ≤ x N = 1 e P M ≤ x N > 1

Respectivamente, temos que:

P M ≤ x =   F x p + F x P { M ≤ x } ( 1 - p )

Isolando P M ≤ x na igualdade acima, obtemos que:

P M ≤ x = p . F ( x ) 1 - 1 - p . F ( x )  

Como queríamos demonstrar.

Resposta

a)

P M ≤ x = p . F ( x ) 1 - 1 - p . F ( x )

b)

P M ≤ x N = 1 = F ( x )  

c)

P M ≤ x N > 1 = F x . P { M ≤ x }

d) A probabilidade foi demonstrada a partir da igualdade:

P M ≤ x =   P M ≤ x N = 1 P N = 1 + P M ≤ x N > 1 P N > 1