Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e uniformes no intervalo (0,1).
(a) Determine a densidade conjunta de U = X, V = X + Y.
(b) Use o resultado obtido na letra (a) para calcular a função densidade de V.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Vamo lá, primeiramente como estamos mexendo com V.A’s independentes e uniformes, nós podemos utilizar a seguinte propriedade de cálculo
Nós temos que o diferencial desta transformação é igual a
O que implica em
Usando o teorema sobre a função de densidade para uma variável aleatória transformada, nós temos
Passo 2
Bom, mas o que seria ? Nós sabemos que e que implica em e . Portanto
Nós temos que se e somente se e para estes conjuntos de tem que estar dentro . Então, se e somente se estar dentro do paralelogramo com dois lados paralelos e . Vamos chamar de paralelogramo de . Portanto
Passo 3
B – Observe que . Para , nós temos que
E para , nós obtemos o seguinte resultado
Portanto
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)