Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e uniformes no intervalo (0,1).

(a) Determine a densidade conjunta de U = X, V = X + Y.

(b) Use o resultado obtido na letra (a) para calcular a função densidade de V.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Vamo lá, primeiramente como estamos mexendo com V.A’s independentes e uniformes, nós podemos utilizar a seguinte propriedade de cálculo

g x , y = u , v = ( x , x + y )

Nós temos que o diferencial desta transformação é igual a

∇ g x , y = 1 0 1 1

O que implica em

| det ⁡ ∇ g - 1 u , v | = 1 det ⁡ ∇ g x , y = 1

Usando o teorema sobre a função de densidade para uma variável aleatória transformada, nós temos

f U , V u , v = f X , Y g - 1 u , v det ⁡ ∇ g - 1 u , v = χ 0,1 2 g - 1 u , v

Passo 2

Bom, mas o que seria g - 1 ( u , v ) ? Nós sabemos que u = x e v = x + y que implica em x = u e y = v - u . Portanto

g - 1 u , v = x , y = ( u , v - u )

Nós temos que u ,   v - u ∈ 0,1 2 se e somente se u ∈ [ 0,1 ] e para estes conjuntos de u ,   v tem que estar dentro [ u , 1 + u ] . Então, χ 0.1 2 g - 1 u , v = 1 se e somente se ( u , v ) estar dentro do paralelogramo com dois lados paralelos 0 × [ 0,1 ] e 1 × [ 1,2 ] . Vamos chamar de paralelogramo de P . Portanto

f U , V u , v = χ P

Passo 3

B – Observe que V ∈ ( 0,2 ) . Para v ≤ 1 , nós temos que

f V v = ∫ o v d u = v

E para v > 1 , nós obtemos o seguinte resultado

f V v = ∫ v - 1 1 d u = 1 - v - 1 = 2 - v

Portanto

f V v = v ,     v ∈ 0,1 2 - v ,     v ∈ 1,2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)