Sejam X 1 , . . . ,   X 20 , variáveis aleatórias de Poisson independentes com média 1.

a) Use a desigualdade de Markov para obter um limite em

P ∑ 1 20 X i > 15

b) Use o teorema do limite central para aproximar

P ∑ 1 20 X i > 15

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Suponha que X 1 ,   … ,   X 2 0 sejam variáveis ​​aleatórias Poisson independentes com o parâmetro λ . É dado que para cada i ,   X i são variáveis ​​aleatórias com média 1 .

Como o valor esperado e a variância de uma variável aleatória Poisson são ambos iguais ao seu parâmetro λ ,   p a r a   c a d a   i ,   X i tem média μ = λ = 1   e   v a r i â n c i a   σ 2 = λ = 1 .

Vamos denotar como X = ∑ 1 20 X i . Então, X é uma variável aleatória Poisson com média E [ X ] = 20 μ = 20 e variância V a r ( X ) = 20 σ 2 = 20 .

No item (a):

Pela desigualdade de Markov, temos:

P ∑ 1 20 X i > 15 = P X > 15 ≤ E X 15 = 20 15 = 4 3

No item (b):

O teorema do limite central diz que a média do conjunto de variáveis ​​aleatórias independentes distribuídas ideticamente é aproximadamente normalmente distribuída para cada a, assim temos:

P X - E X V a r X ≤ a → Φ ( a )

P X - 20 20 ≤   a → Φ ( a ) . ( * )

∙   P ∑ 1 20 X i > 15 = 1 - P X ≤ 15 = a   c o r r e ç ã o   d e   c o n t i n u i d a d e

1 - P x - 20 20 ≤   15 , 5 - 20 20   ≈ * 1 - Φ - 1 , 01 = Φ - z = 1 - Φ z

Φ 1 , 01 O b s e r v e   a   t a b e l a   5.1 = 0 ,   8438

Resposta

a ) ≤ 4 3 .  

b )   0 , 8438 .