Sejam X 1 , X 2 ,   … ,   X n variáveis aleatórias positivas independentes e identicamente distribuídas. Para k ≤ n , determine

E ∑ i = 1 k X i ∑ i = 1 n X i

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, como são variáveis aleatórias identicamente distribuídas, podemos notar um aspecto de simetria nesse termo, portanto, nós temos que

E X i ∑ i = 1 n X i = E X j ∑ i = 1 n X i

Para todos i , j ∈ 1,2 , … ,   n . Então, por causa da linearidade da esperança, nós podemos fazer a seguinte manipulação

E ∑ i = 1 k X i ∑ i = 1 n X i =   ∑ i = 1 k E X i ∑ i = 1 n X i = k E X i ∑ i = 1 n X i

Passo 2

Agora, vamos entender outro viés, nós temos a seguinte relação explicitada no problema

1 = E ∑ i = 1 n X i ∑ i = 1 n X i = n E X i ∑ i = 1 n X i

O que finalmente implica em

E ∑ i = 1 k X i ∑ i = 1 n X i = k n

Resposta

E ∑ i = 1 k X i ∑ i = 1 n X i = k n