Suponha que a amostra é de uma população normalmente distribuída e construa os intervalos de confiança indicados para:

(a) a variância populacional σ 2 ;

(b) o desvio padrão populacional σ .

Interprete os resultados.

Os pesos (em onças) de 17 câmeras digitais com super zoom, selecionadas aleatoriamente, estão listados. Use um nível de confiança de 95%. (Adaptado de: Consumer Reports.)

Passo 1

Oi galerinha, prontos para mais um exercício? Vamos lá!

Temos que n = 17 e c = 0,95 . Para encontrarmos os intervalos de confiança, precisamos realizar alguns passos antes.

Vamos começar pelo cálculo da estimativa pontual ( s 2 ):

s 2 = ∑ ( x - x - ) 2 n - 1 = 784 , 47 17 - 1

s 2 = 49,0 2

Passo 2

Agora precisamos encontrar os valores críticos ( X R 2 e X L 2 ), para isso iremos calcular os graus de liberdade:

g . l . = n - 1 = 17 - 1 → g . l . = 16

E os valores que representam a curva qui-quadrado à direita para c = 0,95 :

X R 2 → 1 - c 2 = 1 - 0,9 5 2 = 0,0 2 5

X L 2 → 1 + c 2 = 1 + 0,9 5 2 = 0,9 75

Então:

X R 2 = 2 8,845

X L 2 = 6,908

Passo 3

O intervalo de confiança c para a variância ( σ 2 ) e o desvio padrão ( σ ) populacional é:

( n - 1 ) s 2 X R 2 < σ 2 < ( n - 1 ) s 2 X L 2

( n - 1 ) s 2 X R 2 < σ < ( n - 1 ) s 2 X L 2

(a) a variância populacional σ 2 :

Limite inferior:

σ 2 = ( n - 1 ) s 2 X R 2 = ( 17 - 1 ) ∙ 49 , 02 2 8,845 = 27,2

Limite superior:

σ 2 = ( n - 1 ) s 2 X L 2 = ( 17 - 1 ) ∙ 49,02 6,908 = 113,5

27,2 < σ 2 < 113,5

(b) o desvio padrão populacional σ :

27,2 < σ < 113,5

5,2 < σ < 10,7

Até mais pessoal!

Resposta

(a) 27,2 < σ 2 < 113,5

(b) 5,2 < σ < 10,7

Com 95% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 27,2 e 113,5 onças e o desvio padrão populacional entre 5,2 e 10,7 onças.