Suponha que 10 bolas sejam colocadas em 5 caixas, com cada uma das bolas sendo independentemente colocada na caixa i com probabilidade
a) Determine o número esperado de caixas sem nenhuma bola.
b) Determine o número esperado de caixas com exatamente 1 bola.
Passo 1
Fala galeraaa!
Vamos que vamos!
a)
Definimos as variáveis aleatórias do indicador que marca se caixa está vazia ou nāo.
Observe que:
já que temos isso caixa está vazia se e somente se todas as bolas foram colocadas nas caixas restantes e cada bola é colocada em alguma outra caixa em vez de caixa com probabilidade .
Assim, o número de caixas vazias pode ser expresso como , então, usando a linearidade da expectativa, obtemos:
(b)
Definimos as variáveis aleatórias do indicador que marca seeu a caixa tem uma e apenas uma bola ou nāo.
Observe que:
já que temos A caixa tem uma e apenas uma bola se e somente se escolhermos uma bola de dez e a colocarmos nessa caixa, e todas as outras bolas colocarmos em algumas das caixas restantes.
Assim, o número de caixas vazias pode ser expresso como , então, utilizando a linearidade da expectativa, obtemos: