Suponha que 10 bolas sejam colocadas em 5 caixas, com cada uma das bolas sendo independentemente colocada na caixa i com probabilidade p i ,   ∑ i = 1 s p i = 1 .

a) Determine o número esperado de caixas sem nenhuma bola.

b) Determine o número esperado de caixas com exatamente 1 bola.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

a)

Definimos as variáveis aleatórias do indicador e u e u ,   e u = 1 ,   … ,   5 que marca se e u a caixa está vazia ou nāo.

Observe que:

P ( e u e u = 1 ) = 1 - p e u 10

já que temos isso e u a caixa está vazia se e somente se todas as bolas foram colocadas nas caixas restantes e cada bola é colocada em alguma outra caixa em vez de e u a caixa com probabilidade 1 - p e u .

Assim, o número de caixas vazias pode ser expresso como N = ∑ e u = 1 5 e u e u , então, usando a linearidade da expectativa, obtemos:

E ( N ) = ∑ e u = 1 5 E I e u   = ∑ e u = 1 5   P e u e u = 1   = ∑ e u = 1 5 1 - p e u 10  

(b)

Definimos as variáveis aleatórias do indicador J e u ,   e u = 1 ,   … ,   5 que marca seeu a caixa tem uma e apenas uma bola ou nāo.

Observe que:

P ( J e u = 1 ) = 10 1 P e u 1 - P e u 10

já que temos e u .   A caixa tem uma e apenas uma bola se e somente se escolhermos uma bola de dez e a colocarmos nessa caixa, e todas as outras bolas colocarmos em algumas das caixas restantes.

Assim, o número de caixas vazias pode ser expresso como M = ∑ e u = 1 5 J e u , então, utilizando a linearidade da expectativa, obtemos:

E ( M ) = ∑ e u = 1 5 E J e u   = ∑ e u = 1 5 P ( J _ ( e u = 1 ) = ∑ e u 5 10 ⋅ P e u ( 1 - P e u ) ^ ( 9 )    

Resposta

a )   E ( N ) = ∑ e u = 1 5 1 - p e u 10  

b )   E ( M ) = ∑ e u = 1 5 10 ⋅   p e u 1 - p e u 9