Enunciado

Suponha que, quando o pH de certo composto químico for 5,00, o pH medido por um aluno iniciante de química selecionado ao acaso é uma variável aleatória com média 5,00 e desvio padrão 0,2. Um grande lote do composto é subdividido e uma amostra foi dada a cada aluno do laboratório da manhã e do laboratório da tarde. Seja X pH médio determinado pelos alunos da manhã e Y o pH médio determinado pelos alunos da tarde.

a. Se o pH for uma variável normal e houver 25 alunos em cada laboratório, calcule P ( - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 ) . (Sugestão: X - -   Y - é uma combinação linear de variáveis normais, portanto, é normalmente distribuída. Calcule μ X - -   Y - e σ X - -   Y - .)

b. Se há 36 alunos em cada laboratório, mas as determinações do pH não são consideradas normais, calcule (aproximadamente) P ( - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 ) .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Antes de tudo, precisamos definir os dados do enunciado. O enunciado nos fornece as seguintes informações:

μ = 5

σ = 0,2

Para a letra (a)

n = 25

Para a letra (b)

n = 36

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Se X tem uma distribuição padrão com média μ e desvio padrão σ . Então, a média da amostra X - também tem distribuição padrão com média μ e desvio padrão σ / n .

μ X - = μ Y - = μ = 5

σ X - = σ Y - = σ n = 0,2 25 = 0,04

Para uma combinação linear W = a X 1 + b X 2 , a média, a variância e o desvio padrão são:

μ W = a μ 1 + b μ 2

σ W 2 = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

σ W = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

Então, para o nosso exemplo W = X - -   Y - .

μ X - -   Y - = μ X - - μ Y - = 5 - 5 = 0

σ X - -   Y - = σ X - 2 + σ Y - 2 = 0,04 2 + 0,04 2 = 0,0565685

Sendo assim, podemos calcular a varável z da seguinte forma:

z = x - μ σ = - 0,1 - 0 0,0032 = - 1,77

z = x - μ σ = 0,1 - 0 0,0032 = 1,77

Por fim, podemos determinar a probabilidade pedida.

P - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 = P ( - 1,77 < Z < 1,77 )

= P Z < 1,77 - P ( Z < - 1,77 )

= 0,9616 - 0,0384

P - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 = 92,32 %

Passo 3

Agora, faremos de forma similar a letra (a), porém, com n = 36 .

Se X tem uma distribuição padrão com média μ e desvio padrão σ . Então, a média da amostra X - também tem distribuição padrão com média μ e desvio padrão σ / n .

μ X - = μ Y - = μ = 5

σ X - = σ Y - = σ n = 0,2 36 = 0,0 333

Para uma combinação linear W = a X 1 + b X 2 , a média, a variância e o desvio padrão são:

μ W = a μ 1 + b μ 2

σ W 2 = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

σ W = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

Então, para o nosso exemplo W = X - -   Y - .

μ X - -   Y - = μ X - - μ Y - = 5 - 5 = 0

σ X - -   Y - = σ X - 2 + σ Y - 2 = 0,0333 2 + 0,0333 2 = 0,0 471

Sendo assim, podemos calcular a varável z da seguinte forma:

z = x - μ σ = - 0,1 - 0 2 / 30 = - 2,12

z = x - μ σ = 0,1 - 0 2 / 30 = 2,12

Por fim, podemos determinar a probabilidade pedida.

P - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 = P ( - 2,12 < Z < 2,12 )

= P Z < 2,12 - P ( Z < - 2,12 )

= 0 , 9830 - 0,0 170

P - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 = 9 6 , 60 %

Resposta

  1. P - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 = 9 2 , 32 %
  2. P - 0,1 ≤ X - -   Y - ≤ 0,1 = 96,60 %

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