Suponha que a distribuição da vida útil de um item tenha função taxa de risco λ t = t 3 ,         t > 0 . Qual é a probabilidade de que

(a) o item dure mais que 2 anos?

(b) a vida útil do item esteja entre 0,4 e 1,4 anos?

(c) um item com 1ano de vida dure mais que 2 anos?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar X ser a distribuição de vida útil do item com uma função de taxa de risco igual a

λ = t 3 ,     t > 0

A – A probabilidade do item sobreviver por mais de 2 anos é igual a

P X > 2 = exp ⁡ - ∫ 0 2 λ u   d u

Substituindo a função lambda, nós temos

P X > 2 = exp ⁡ - ∫ 0 2 u 3   d u = exp ⁡ - u 4 4 0 2

E temos o seguinte resultado

P X > 2 = e - 4

Passo 2

B - A probabilidade de que a vida útil do item esteja entre 0,4 e 1,4 é dada como

P 0,4 < X < 1,4 = P X < 1,4 - P [ X < 0,4 ]

Logo, nós temos que

P 0,4 < X < 1,4 = 1 - exp ⁡ - ∫ 0 1,4 λ u   d u - 1 - exp ⁡ - ∫ 0 0,4 λ u   d u

Essas integrais tem resultados conhecidos, as quais são

P 0,4 < X < 1,4 = 1 - e - 0,9604 - 1 - e - 0,0064 = e - 0,0064 - e - 0,9604

O que nos dá aproximadamente

P 0,4 < X < 1,4 ≈ 0,61

Passo 3

C - Probabilidade de que um item de um ano sobreviva até os 2 anos é de

P X > 2 X > 1 = P X > 2 ∩ X > 1 P X > 1 = P X > 2 P X > 1

Convertendo essas probabilidades para integrais, nós temos que

exp ⁡ - ∫ 0 2 u 3   d u exp ⁡ - ∫ 0 1 u 3   d u = e - 4 e - 1 4

Com isso, temos o seguinte resultado

P X > 2 X > 1 = 0,023

Resposta

a )   e - 4

b )   0,61

c )   0,023