Suponha que o número de eventos que ocorrem em um dado período de tempo seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro γ . Se cada evento é classificado como sendo do tipo i com probabilidade p i , i = 1 , … , n , ∑ p i = 1 independentemente dos demais eventos, mostre que os números de eventos do tipo i que ocorrem, i = 1 , … , n , são variáveis aleatórias de Poisson independentes com parâmetros γ p i ,   i = 1 , … . , n

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

Para a primeira parte da questão devemos fazer p i = P X Y Z = j , considerando isso teremos:

P 1,1 , 1 = 1 2 . 1 2 . 1 2 → p 1 = 1 8 ;

P 2,2 , 2 = 1 2 . 1 2 . 1 2 = 1 8 ;

Nestes próximos devemos considerar a possibilidade de permutação das posições, que neste caso é três:

P 1,1 , 2 = 1 2 . 1 2 . 1 2 . 3 = 3 8 ;  

P 1,2 , 2 = 1 2 . 1 2 . 1 2 . 3 = 3 8 ;

Passo 2

Para a letra b, devemos considerar o mesmo método, porém levando em conta que p i = P X Y + X Z + Y Z = J ,   considerando isso teremos:

p 3 = 1 8 ; p 5 = 3 8 ; p 8 = 3 8 ; p 12 = 1 8 .

Passo 3

Para a letra c resolveremos do mesmo método com p i = P X 2 + Y Z = j

p 2 = 1 8 ; p 3 = 1 4 ; p 5 = 1 4 ; p 6 = 1 4 ; p 8 = 1 8

E agora, bora para o próximo =)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)