Suponha que o número de eventos que ocorrem em um tempo especificado é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ. Se cada evento é contado com probabilidade p, independentemente de qualquer outro evento, mostre que o número de eventos contados é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λp. Além disso, forneça um argumento intuitivo para justificar essa hipótese. Como uma aplicação do resultado anterior, suponha que o número de depósitos de urânio distintos em uma determinada área seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ = 10. Se, em um período de tempo fixo, cada depósito for descoberto de forma independente com probabilidade 1 50 , determine a probabilidade de que (a) exatamente 1, (b) pelo menos 1 e (c) no máximo 1 depósito seja descoberto durante aquele tempo.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes de partir para as letras, vamos compreender aqui a fórmula que vamos usar:

P N = i = e - λ λ i i !

P C o n t a d o s = k = ∑ i = k ∞ ( p ) k ( 1 - p ) i - k × C i k × e - λ λ i i !

Ao desenvolver a fórmula, vamos descobrir que:

P C o n t a d o s = k = λ p k k ! e - λ p

Passo 2

Vamos para a letra (a). O enunciado já nos informa que λ = 10 e p = 1 50 .

Aqui então vamos calcular:

λ p = 10 × 1 50 = 1 5

Jogando na fórmula:

P C o n t a d o s = k = λ p k k ! e - λ p

P C = 1 = 1 5 1 1 ! e - 1 5

P C = 1 = 1 5 e - 1 5

Passo 3

Vamos para a letra (b). O enunciado já nos informa que λ = 10 e p = 1 50 .

λ p = 10 × 1 50 = 1 5

Aqui a letra (b) pede C ≥ 1 , e com isso podemos fazer a igualdade:

P C ≥ 1 = 1 - P C < 1

1 - P C < 1 = 1 - P C = 0

Substituindo na fórmula:

P C o n t a d o s = k = λ p k k ! e - λ p

P C ≥ 1 = 1 - 1 5 0 0 ! e - 1 5

P C ≥ 1 = 1 - e - 1 5

Passo 4

Vamos para a letra (c). O enunciado já nos informa que λ = 10 e p = 1 50 .

λ p = 10 × 1 50 = 1 5

Aqui a letra (b) pede C ≤ 1 , e com isso podemos fazer a igualdade:

P C ≤ 1 = P C = 0 + P C = 1

Substituindo na fórmula:

P C o n t a d o s = k = λ p k k ! e - λ p

Substituindo na fórmula:

P C ≤ 1 = 1 5 0 0 ! e - 1 5 + 1 5 1 1 ! e - 1 5

P C ≤ 1 = e - 1 5 + 1 5 e - 1 5

P C ≤ 1 = 6 5 e - 1 5

Resposta

a )   P C = 1 = 1 5 e - 1 5

b )   P C ≥ 1 = 1 - e - 1 5

c )   P C ≤ 1 = 6 5 e - 1 5