Suponha que n pontos sejam independente e aleatoriamente escolhidos na borda de um círculo e que queiramos determinar a probabilidade de que eles estejam no mesmo semicírculo. Isto é, queremos a probabilidade de que exista uma linha passando pelo centro-do círculo tal que todos os pontos estejam de um lado da linha, conforme mostrado no diagrama a seguir Suponha que P 1 ,..., P n representem os n pontos. Suponha também que A represente o evento em que todos os pontos estão contidos em algum semicírculo começando no ponto P i , seguindo no sentido horário por 180°, i = 1 ,..., n.

(a) Expresse A em termos de A i .

(b) São os A i ' s mutuamente exclusivos?

(c) Determine P ( A ) .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Dado que n pontos são escolhidos aleatoriamente da circunferência de um círculo e também A é o evento todos os pontos contidos em algum semicírculo.

É claro que A i ⊂ A para cada variável i . Ou seja, ⋃ i = 1 n A i ⊆ A

Agora, queremos mostrar essa inclusão reversa.

Portanto,

A ⊆ ⋃ i = 1 n A i → A = ⋃ i = 1 n A i

Passo 2

Beleza, agora vamos para a letra (b).

Todos A i são eventos mutuamente exclusivos, porque são disjuntos e o semicírculo traçado a partir P j do ponto médio, mas não inclui P k , portanto, pelas informações fornecidas, A j não ocorrerá.

Assim, se A k ocorrer, nenhum outro A i pode ocorrer e, portanto, os eventos A i são eventos mutuamente exclusivos.

Passo 3

Vamos para a letra (c). Temos que encontrar P ( A ) , então:

P A = P ⋃ i = 1 n A i

P A = ∑ i = 1 n P ( A i ) - ∑ i < j P A i A j + ∑ i < j < k P A i A j A k - …

Logo:

P A = ∑ i = 1 n P ( A i )

Sabendo que P A i = 1 2 n - 1 , substituindo:

P A = ∑ i = 1 n 1 2 n - 1

P A = n 1 2 n - 1

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o