Suponha que n pontos sejam independente e aleatoriamente escolhidos na borda de um círculo e que queiramos determinar a probabilidade de que eles estejam no mesmo semicírculo. Isto é, queremos a probabilidade de que exista uma linha passando pelo centro-do círculo tal que todos os pontos estejam de um lado da linha, conforme mostrado no diagrama a seguir Suponha que ,..., representem os n pontos. Suponha também que A represente o evento em que todos os pontos estão contidos em algum semicírculo começando no ponto , seguindo no sentido horário por 180°, i = 1 ,..., n.
(a) Expresse A em termos de .
(b) São os mutuamente exclusivos?
(c) Determine .
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).
Dado que pontos são escolhidos aleatoriamente da circunferência de um círculo e também A é o evento todos os pontos contidos em algum semicírculo.
É claro que para cada variável . Ou seja,
Agora, queremos mostrar essa inclusão reversa.
Portanto,
Passo 2
Beleza, agora vamos para a letra (b).
Todos são eventos mutuamente exclusivos, porque são disjuntos e o semicírculo traçado a partir do ponto médio, mas não inclui , portanto, pelas informações fornecidas, não ocorrerá.
Assim, se ocorrer, nenhum outro pode ocorrer e, portanto, os eventos são eventos mutuamente exclusivos.
Passo 3
Vamos para a letra (c). Temos que encontrar , então:
Logo:
Sabendo que , substituindo: