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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 50

Suponha que X possua função geratriz de momentos M ( t ) , e defina ψ t = log ⁡ M ( t ) . Mostre que

ψ ' ' ( t ) t = 0 = V a r ( X )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos encontrar a expressão da segunda derivada de ψ t = log ⁡ M ( t ) , nós temos que

ψ ' t = M ' t M t

O que implica em

ψ ' ' t = M ' ' t M t - M ' t M ' ( t ) M 2 t

Passo 2

Agora, vamos colocar t = 0 , na expressão anterior para obter o seguinte resultado

ψ ' ' ( t ) t = 0 = M ' ' 0 M 0 - M ' 0 M ' ( 0 ) M 2 0

Isso é basicamente a variância, visto que

ψ ' ' ( t ) t = 0 = M ' ' 0 M 0 - M ' 0 M ' ( 0 ) M 2 0 = E X 2 - E X 2 = V a r ( X )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)